système d'équations différentielles autonome du second ordre.

[invite07dd2471]

Bonjour à tous,

j'étudie un système d'eq diff du type x' = f(x,y) et y' = g(x,y). Je dois montre que si la condition initiale remplit x(0)>0 et y(0)>0 alors les solutions (x(t),y(t)) de ce système vérifient x(t)>0 et y(t)>0 pour tout t. J'ai essayé mais je n'y arrive pas. Est-ce que quelqu'un aurait une piste pour résoudre ce type de questions svp ?

Merci de votre aide.
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[invite07dd2471]

personne ? pour infos les fonctions f et g sont de la forme : f(x,y) = ax - bxy -cx² et g(x,y) = -dy + exy -fy² où a,b,c,d,e et f sont des paramètres réels strictements positifs ! avec c > a*e/d

[invitea6f35777]

Salut,

Il faut utiliser l'unicité donnée par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Si besoin je t'ai mis la démo en caché

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Ton système vérifie les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz local (toute fonction de classe est localement lipschitzienne ce qui impose l'existence locale d'une solution (et en fait existence d'une unique solution maximale) et l'unicité de la solution. Seule l'unicité est utile ici. Si tu considère une solution de ton système et si tu suppose qu'au moins une des fonctions ou s'annule, mettons que s'annule en premier par exemple à l'instant alors il est clair d'après le système que

Tu peux alors construire une solution du système sur manifestement différente en prenant pour tout et solution du problème de Cauchy

On a bien deux solutions différentes puisque . L'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz dit qu'il est impossible d'avoir deux solutions différentes de ton système qui vérifient la même condition en , à savoir que

On montre ainsi que aucune des fonctions ou ne peuvent s'annuler, puisqu'elles sont continues (car dérivables) elles ne peuvent changer de signe (par théorème des valeurs intermédiaires) et donc elles restent strictement positives à chaque instant.

[invite07dd2471]

oui j'avais fini par faire ça mais quelqu'un me disait que c'était pas bon.. merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]