existence de solution d'equations différentielles du premier ordre

[james_83]

Bonjour,

C'est vraiment important, si quelqu'un peut m'aider, c'est vraiment super gentil.
Je voulais savoir comment justifier l'existence (par un théorème) d'une solution pour chacune de ces equations :

(on cherche comme solution une fonction d'une variable réelle sur un intervalle I de R)

y' = ay +b a, b > 0

x'(t) = ax(t) -by(t) a, b >0

n'(t) = an(t)Log(b/n(t)) - n(t)1{x(t) > c} où 1 est la fonction indicatrice, a, b, c > 0, n(t)<b sur I

j'arrive à trouver une solution pour chacune de ces equations mais j'aimerais savoir comment démontrer l'existence et comment savoir si l'intervalle I n'est pas réduit ?

Voila, je vous remercie par avance !!
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[haciol]

Bonjour,
pour ce genre de questions la réponse est toujours le théorème de Cauchy Lipschitz.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...uchy-Lipschitz

[james_83]

Bonsoir et merci pour la réponse.
mais comment fait-on pour savoir si la solution est definie sur tout I ?

[james_83]

sinon en appliquant le theoreme:
pour la premiere equation :

y'=f(y) et f affine donc c'est bon.

pour la deuxième :
x'(t) = f(x, t) et f (. , t) est C1 donc c'est bon ? (on ne regarde pas la seconde variable ?)

et pour la troisième je ne vois pas du tout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[haciol]

Pour savoir si c'est définit sur tout I il y a plus de boulot. Je sais qu'il existe un théorème qui dans le cas localement Lipschitz nous dit que:
soit tu est définit sur tout I, soit la dérivée tend vers l'infini.
Dans ton cas je suppose qu'il est jouable de montrer que la dérivée est majorée.