Convergence d'intégrale

[invite5eadf00c]

Bonsoir à tous,

Je dois étudier la convergence de l'intégrale suivante :



J'ai donc tenté de la résoudre en effectuant le changement de variable x = 1+t
J'ai donc obtenu l'intégrale suivante :



J'ai déjà exploré plusieurs solutions telles que:
-> L'intégration par parties (j'ai abouti à une expression encore plus compliquée à intégrer)
-> Rechercher un équivalent de la fonction à intégrer (mais je ne parviens pas à obtenir d'équivalent d'une fonction du type ln/u, de plus nous ne sommes pas en donc les équivalents ne peuvent peut-être pas être appliqués)
-> Un encadrement :



J'ai ensuite intégré chaque terme de l'encadrement entre 0 et 1 et j'ai pu constater que les fonctions encadrantes (à gauche et à droite) divergent vers

Je ne sais pas si je peux conclure directement avec le théorème d'encadrement.


Je voudrais savoir à peu près comment raisonner pour répondre au problème, et surtout trouver la bonne solution (le tout en gardant le changement de variable que j'ai déterminé au début, si possible).

Merci d'avance pour vos réponses !


Bonne soirée à vous

Je voudrais avant tout avoir une piste pour trouver
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[raymolk]

La minoration de 1/ln(1+t) par 1/t au voisinage de 0 suffit pour conclure.
Par contre, pour le justifier, tu ne dois pas intégrer 1/t de 0 à 1, puisqu'elle n'est précisément pas intégrable.
Normalement, tu dois pouvoir utiliser la divergence de cette intégrale directement (comme une donnée du cours), sinon, tu intègres 1/t de ε > 0 à 1, puis tu fais tendre ε vers 0.

[invite5eadf00c]

Bonjour,

Oui c'est une bonne idée.
Normalement je devrais donc trouver que mon intégrale diverge en + l'infini, si je ne me trompe pas.


Merci pour votre aide !

[raymolk]

Elle diverge vers plus l'infini, éventuellement, ou bien elle diverge tout court, mais pas en plus l'infini (à la limite elle diverge en 0, mais on dit plutôt qu'il s'agit d'une intégrale impropre divergente)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5eadf00c]

Ah oui effectivement, c'est vers + l'infini !

Merci beaucoup pour votre aide, bonne journée