longueur d'un segment de fonction, questions bonus intégrale - somme

[herrmattoon]

Bonjour,

Je me suis lancé le défi de déterminer la longueur d'une fonction, entre deux bornes. Dans mon développement, j'ai commencé par une approche "archaïque", en utilisant ce que je pense être la définition de l'intégrale de Riemann. J'ai découpé l’intervalle [a,b] en segments infinitésimaux en divisant la distance qui sépare a de b par n qui tend vers l'infini. J'additionne ensuite chacune des hypoténuses correspondantes pour obtenir la longueur totale.



J'ai trouvé un site qui exprime la longueur d'un segment de fonction de la même manière que je le fais avec l'intégrale. Je pense donc que cette égalité est valable. Pourtant, j'ai fait des suppositions pour poser cette égalité et je ne crois pas être en mesure de la vérifier...

Mes questions sont les suivantes :

• peut-on dire de (b-a)/n avec n-> inf. qu'il s'agit de dx?
• dans ce cas, que ce passe-t-il si on considère l'intervalle de 0 à l'infini ? n croit comme la borne supérieure, donc dx vaudrait 1 ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

En fait, tu as trouvé la longueur d'un segment de courbe de fonction tracée dans un repère orthonormé. Et c'est la formule classique, bravo !

* "peut-on dire de (b-a)/n avec n-> inf. qu'il s'agit de dx" C'est l'interprétation de Leibnitz, qui a été utilisée pendant plus d'un siècle, malgré ses difficultés conceptuelles (dx additionné à une longueur la change tout en étant une sorte de 0).
En fait, ta formule est l'application de la méthode dite des sommes de Riemann (le terme dont tu prends la limite est une somme de Riemann), qui évite de se poser des questions sur le statut de dx (qui reste une simple notation disant qu'on intègre en fonction de x).

* "dans ce cas, que ce passe-t-il si on considère l'intervalle de 0 à l'infini ? n croit comme la borne supérieure, donc dx vaudrait 1" Tu as ici un peu manqué de rigueur : Que vaut b-a pour cet intervalle ? Tu vois que le calcul n'a plus de sens. Et même, si a et b dépendent de n de façon que le quotient tende vers 1 (par exemple a=0, b=n), tu ne cherches plus la longueur de la courbe (tu ne l'approche plus), mais celle d'une ligne polygonale infinie joignant des points éloignés de la courbe. Ça peut donner n'importe quoi.

Mais encore bravo pour avoir vu cela.

Cordialement.

[herrmattoon]

Bonjour gg0,

Ton exemple consistant à prendre p.ex. a=0 et b=n est très parlant. En prenant le membre de gauche de l'égalité je visualise en effet ces points "éloignés" reliés par une droite. Il me semble même que d'après ce cas (b=n et a=0), la longueur de chacun de ces segments soit :


Autrement dit, cette écriture ne fonctionne pas dans tous les cas...

Merci pour cette réponse!

[gg0]

Non, tu te trompes, f' n'intervient plus (sauf si la courbe est une droite). Les segments (*) sont de longueurs


Cordialement.

(*) dans mon exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[herrmattoon]

Oups,

Au temps pour moi! J'ai répondu de manière un peu précipitée...

Cordialement