Algèbre, indépendance linéaire

[invite63c3436b]

Bonjour à tous,

Alors premièrement j'aimerais remercier tous les gens qui répondent et aident les autres sur ce forum, je viens certes de créer mon compte mais les postes de ce forum m’ont tellement souvent aidé ! Pour cela merci.

Alors à mon tour d'exposer mon problème..

J'aimerais étudier l'indépendance linéaire d'une famille :
fn : x -> (sin(x))^n, n∈{1,2,3}
Alors je ne sais pas trop comment m'y prendre sachant que j'ai toujours eu l'habitude de travailler sur des familles comprenant des vecteurs composés de scalaires.
Visiblement je dois pour commencer linéariser mes expressions ?
Puis calculer asin(x) + bsin(x)^2 + csin(x)^3 à des valeurs de x remarquables ? (pi/2,0..) comment les choisir ? Et comment être sûr de mon coup sachant que x peut prendre une infinité de valeurs.

Je suis désolé de demander cela, mais étant un simple étudiant en DUT j'ai sûrement besoin qu'on m'explique plus qu'à d'autres utilisateurs du forum...

Merci d'avance.
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[gg0]

Tu dois montrer que si on a trois réels a, b et c, tels que

(fonction nulle) c'est à dire que pour tout réel x,

alors .

A priori, pas besoin de linéariser, seulement se souvenir des valeurs de a qui annulent sin(a) ou qui le rendent égal à 1 ou à -1. Puis prendre 3 valeurs, ce qui donnera un système d'équation facile à résoudre.

Cordialement.

NB : a peut être x, ou 2x, ou 3x.

[invite63c3436b]

Je crois que j'ai écris une bêtise... Je reprends...

[invite63c3436b]

Bon je ne peux plus re-modifier mon message (j'avais écrit une grosse bêtise) :

Merci beaucoup de m'avoir aidé.

Alors je détaille ce que j'ai fais histoire d'être sûr d'avoir bien compris...

J'ai donc choisis comme valeur de x : 0,pi/2,-pi/2

Ce qui me donne :

a(sin(0),sin(pi/2),sin(-pi/2)) + b(sin(0)^2,sin(pi/2)^2,sin(-pi/2)^2) + c(sin(0)^3,sin(pi/2)^3,sin(-pi/2)^3) = (0,0,0)

Ce qui vaut :

a(0,1,-1) + b(0,1,1) + c(0,1,-1) = (0,0,0)

Et on voit que une des solutions est a=-c

Ma famille est donc liée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Non.

Ce n'est pas intéressant de prendre 0 comme valeur de x, ça fait perdre une équation. Même chose pour toute valeur qui annule les trois sinus.
Cherche autre chose.

[invite63c3436b]

Je recommence donc avec comme valeur de x : (pi/3,pi/4,pi/6)

Ce qui me donne :

a(sin(pi/3),sin(pi/4),sin(pi/6)) + b(sin(pi/3)^2,sin(pi/4)^2,sin(pi/6)^2) + c(sin(pi/3)^3,sin(pi/4)^3,sin(pi/6)^3) = (0,0,0)

ce qui vaut :

a(√3/2,√2/2,1/2) + b(3/4,1/2,1/4) + c(3√3/8,√2/4,1/8)

Les deux premières lignes de mon système sont compliqués à résoudre sans machine.. (Je travaille au maximum sans)
Comment pourrais-je trouver une solution sans ?

Merci beaucoup pour votre patience...

[invite63c3436b]

Je recommence donc avec comme valeur de x : (pi/3,pi/4,pi/6)

Ce qui me donne :

a(sin(pi/3),sin(pi/4),sin(pi/6)) + b(sin(pi/3)^2,sin(pi/4)^2,sin(pi/6)^2) + c(sin(pi/3)^3,sin(pi/4)^3,sin(pi/6)^3) = (0,0,0)

ce qui vaut :

a(√3/2,√2/2,1/2) + b(3/4,1/2,1/4) + c(3√3/8,√2/4,1/8)

Les deux premières lignes de mon système sont compliqués à résoudre sans machine.. (Je travaille au maximum sans)
Par contre la troisième ligne est :
a/2 + b/4 + c/8 = 0
On a plusieurs solutions comme a=b+2c...

Ma famille est donc liée.

Est-ce cela ou est-ce que je me plante complètement ?

Merci beaucoup pour votre patience...

[invite63c3436b]

Autant pour moi j'ai résolu correctement le système, j'ai bien a=0,b=0 et c=0...
La famille est donc libre c'est bien cela ?
La fatigue désolé..

Merci encore.

[gg0]

Bravo et bonne nuit !