bonsoir, j'ai commencée un cours sur l'algèbre linéaire et je suis totalement perdu sur les vecteurs linéairement indépendant ...
Comment montre t-on que des vecteurs sont linéairement indépendants ou dépendants ?
Par exemple avec les vecteurs V1(-2;2;0) V2(1;-1;1) V3(5;-5;0) ?
merci d'avance
Bonsoir ,
La définition est assez simple .
Deux vecteurs V1 et V2 sont dépendants s'il existe k appartenant aux réels tel que V1 = k V2 .
Une famille de deux vecteurs est libre si pour des scalaires a1 et a2 on a :
a1 V1 + a2 V2 = 0 implique a1 = a2 = 0
cordialement
D'accord mais il faut faire un calcul pour prouver l'indépendance ou la dépendance ? Parce qu'on ne sait pas si a1=a2=0 ?
Bonjour.
Pour plus de deux vecteurs, il suffit de prendre la définition : Ils sont indépendants si lorsqu'une combinaison linéaire des vecteurs est nulle, c'est que les coefficients (ce qui multiplie les vecteurs) sont nuls.
Dans ton cas, tu considère trois nombres a, b et c, et tu supposes que a.(-2;2;0)+b.(1;-1;1)+c.(5;-5;0)=(0,0,0); puis tu résous en les inconnues a, b et c. S'il y a une solution non nulle, ils sont dépendants, si la seule solution est a=b=c=0, ils sont indépendants.
Dans certains cas, on peut aller plus vite, par exemple si l'un d'eux est une combinaison linéaire des autres, ils sont dépendants; par exemple (1,1,1), (1,2,3) et (2,3,4) sont linéairement dépendants car le troisième est la somme des deux autres.
Cordialement.
Merci, c'est un peu plus clair comme ca.
Donc si j'ai bien compris je fais un système ?
-2a+b+5c=0
2a-b=0
b=0
ducoup je trouve a=-2 b=0 et c=4/5 ?
Donc a,b et c sont différents et différents de zéro, donc ils sont linéairement dépendants ?
-2a+b+5c=0
2a-b=0 faux
b=0 faux
La seule chose qui nous intéresse est de savoir si a=0, b=0, c=0 est la seule solution ou pas (l'égalité de a, b et c est accessoire, ce qui compte c'est qu'ils soient obligatoirement nuls). Si oui, indépendance, si non, dépendance. Encore faut-il calculer juste ...
Effectivement j'ai oublié le -5
donc : -2a+b+5c=0
2a-b-5c=0
mais je ne vois pas pourquoi b=0 est faux ? Et ducoup je ne vois pas non plus comment calculer ...
Ah oui, c'est moi qui lisais de travers, b=0 est bien la troisième équation.
Dernière modification par gg0 ; 14/09/2016 à 22h40.
