Rang et indépendance linéaire

[bidou8610]

Bonjour,

J'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre.

Soit le système linéaire x=H*a, avec H(n*m matrix) avec n>m;

En résolvant ce système avec x=vecteur nul, je trouve un vecteur a nul. Cela signifie bien que les colonnes de Hm sont linéairement indépendantes ?!

Le problème est qu'en calculant le rang de cette matrice avec Matlab, je trouve un rang=6 alors que la matrice est de taille 31*21.

Il y a t-il une relation entre indépendance linéaire et rang d'une matrice ? Ou alors cela est due à une erreur numérique ?

Merci d'avance pour vos réponses!
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[invite179e6258]

si la matrice est de rang 6 alors l'équation Ha=0 a d'autres solutions que a=0.

[bidou8610]

Donc les colonnes de la matrice H sont linéairement indépendantes mais il existe d'autres solutions que x=0 donc la matrice n'est pas de rang plein. Ai-je bien compris ?

Merci

[invite179e6258]

(..) d'autres solutions que x=0

c'est a ou c'est x l'inconnue? remarque, si c'est x ce n'est pas vraiment une équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bidou8610]

C'est bien sur a! Pardonnez moi pour cette erreur!

[gg0]

Reprenons :

Si, en résolvant H a = 0 on trouve a=0, on n'est pas surpris, puisque c'est une solution évidente.
Si on démontre exactement qu'il n'y a que cette solution, c'est que les colonnes sont linéairement indépendantes.
Si, en faisant du calcul approché, on trouve d'une part que la seule solution est a=0, d'autre part que le rang de la matrice est 6, c'est qu'au moins l'un des deux calculs est faux (matrice mal conditionnée), voire les deux.
Dans ce dernier cas, on ne sait pas quel(s) calcul(s) approché(s) pose(nt) problème.

Si la matrice est connue en valeur exacte avec des coefficients pas trop compliqués, un logiciel de calcul formel peut aider.

Cordialement.

[bidou8610]

Merci! Donc il est impossible de tester l'indépendance linéaire avec un logiciel type Matlab ?!

[gg0]

Certains calculs matriciels posent problème en calcul approché. Tout simplement parce que certains arrondis faussent tout.
Sur une calculatrice courante, 10⁵⁰+1000-10⁵⁰ donne comme résultat 0. Sur matlab aussi sans doute (je ne l'ai jamais utilisé).
Pose ta question sur un forum Matlab.

Cordialement.

[bidou8610]

Merci!

J'ai une autre question, qui n'a surement aucun sens. Est-il possible mathématiquement de transformer une matrice A (m*n, avec m>n) de rang r<n, en une matrice A' (m*n, avec m>n) de rang plein n ???

[gg0]

Je ne sais pas ce que peut vouloir dire "transformer", mais si c'est changer de matrice, c'est facile. Sinon, si on conserve la même matrice, on conserve le même rang.

Donc je suppose que ta question est toute autre ...

Cordialement.

[bidou8610]

'Transformer' signifierait 'garder' la même matrice qui couvrirai le même espace. J'ai utilisé un algo de Gram-schmidt modifié et cela me retourne une matrice de plein rang au sens de Matlab

[gg0]

Désolé,

mais ça n'a aucun sens pour moi.