indépendance linéaire et multiplicateurs Lagrange

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

j'ai une question à propos des multiplicateurs de Lagrange, j'ai lu sur le net ce document que je trouve très intéressant
http://www.techno-science.net/?ongle...efinition=6350

J'ai bien compris la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on peut trouver un minimum d'une fonction convexe
tout en respectant une contrainte, par contre je n'ai pas compris sous quelles conditions est elle utilisable....
(car ce n'est pas bien détaillé sur cette page)

1) dans le cas où on a une seule contrainte la méthode semble fonctionner pour n'importe quel type de contrainte (linéaire, non linéaire....)

2) par contre, lorsqu'on a plusieurs contraintes j'ai lu sur le net (je ne me rappel plus du site dsl....) que la méthode fonctionne
que si les contraintes sont linéairement indépendantes. Apparemment les contraintes peuvent être non linéaires mais doivent être linéairement
indépendantes entre elles.... (je ne comprends pas cette phrase)

Mes questions
- tout d'abord je voudrais savoir si je dis pas de bêtises sur les points 1) et 2), êtes vous d'accord avec ce que j'ai dis ?

- pour le point n°2 je ne comprends pas le terme "les contraintes doivent être linéairement indépendantes...", pouvez vous m'expliquez ?
et en pratique comment vérifie t on ceci à priori pour être sur que ça va fonctionner notre problème?

merci pour votre aide
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[acx01b]

salut, je ne maitrise pas bien les multiplicateurs (comme la plupart des gens) mais ils ne me font pas non plus vraiment peur :

On a une fonction (x peut être de dimension n) et une liste de contraintes :
implique que la contrainte est respectée


on transforme le problème d'optimisation sous contrainte


en un problème d'optimisation sans contrainte :



Non ! Non non non et non. C'est faux, ceux qui disent ça disent n'importe quoi !!!
Note que pour maximiser L il faut faire tendre l'un ou l'autre des vers l'infini, et ce n'est pas du tout ce qu'on fait.


Je reprends.


on transforme le problème d'optimisation sous contrainte


en un problème d'annulation de gradient :


avec



Qui est une forme de contrainte également (en fait l'idéal mathématiquement serait de dire qu'on a transformé nous problème d'optimisation de départ en un problème d'optimisation par rapport à f sous la contrainte que le gradient par rapport à est nul).

Par chance, les problèmes d'optimisations sans contraintes commencent souvent par chercher les points où le gradient s'annule, ainsi en cherchant les points où le gradient de L s'annule, on trouve les points qui satisfont à la fois les contraintes et qui sont des maximum local/minimum local/point selle pour f.
Note que le nombre de points où le gradient s'annule n'est pas forcément fini, et pour certaines fonctions ça ne rimerait à rien d'essayer de les lister.

Pourquoi annuler le gradient par rapport à permet-il de satisfaire les contraintes ?
La raison est toute bête :
si ça implique que


et comme dit précédemment si ça implique qu'on est sur un maximum local/minimum local/point selle.
On espère simplement qu'en listant tous les points où le gradient s'annule, on pourra choisir celui qui nous plait le plus : c'est à dire celui qui satisfait les contraintes et qui atteint le maximum de f(x)

Je crois qu'il n'y a pas grand chose d'autre à savoir sur les multiplicateurs de lagranges, à part peut-être qu'on peut s'en inspirer pour avoir des contraintes non strictes, et que dans quelques rares cas comme pour les fonctions L quadratiques ça marche du tonnerre.

[acx01b]

en y réfléchissant bien, à mon avis ton histoire de "les contraintes doivent être linéairement indépendantes" est dans le cas où L est quadratique.

Tu as déjà étudié les problèmes d'annulation de gradient, d'optimisation quadratique, de résolution d'équation quadratique (à N variables) ? Si c'est le cas tu dois savoir qu'à un moment on se demande si la matrice est singulière, si c'est le cas ce n'est pas dramatique et ça n'empêche pas de résoudre le problème de départ, ça demande juste de procéder autrement.

[invite9c7554e3]

merci beaucoup pour toutes tes réponses !

en y réfléchissant bien, à mon avis ton histoire de "les contraintes doivent être linéairement indépendantes" est dans le cas où L est quadratique.

ah bon, pourquoi dans le cas quadratique et pas dans un autre cas ?

Tu as déjà étudié les problèmes d'annulation de gradient, d'optimisation quadratique, de résolution d'équation quadratique (à N variables) ?

non je n'ai jamais fais.... justement c'est dans cette optique que je te pose cette question

Si c'est le cas tu dois savoir qu'à un moment on se demande si la matrice est singulière, si c'est le cas ce n'est pas dramatique et ça n'empêche pas de résoudre le problème de départ, ça demande juste de procéder autrement.

OK, pourrais tu m'en dire un peu plus là dessus s'il te plait ?
merci

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