Bonjour,
j'ai essayé de faire un exercice sur les extrema d'une fonction à plusieurs variables à trouver avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Pourriez-vous me le corriger s'il vous plaît?
énoncé:
Soit un coeur de réacteur nucléaire cylindrique de rayon R et de hauteur H. La théorie de la diffusion des neutrons impose une contrainte entre R et H :
g(R,H) = (a/R)² + (pi/H)² = b
où a et b sont des constantes.
Il s'agit de trouver (b étant donné) le rapport entre H et R qui minimise le volume du coeur du réacteur, donné par la fonction f.
f(R,H) = piR²H
On utilisera la méthode du multiplicateur de Lagrange et on supposera que l'extrema trouvé est un minimum. Pour les applications numériques, on prendra a = 2.4048.
ma réponse:
je n'ai pas pu faire les d ronds dans les expressions de df et dg!
on a df = (df/dR) dR + (df/dH) dH = 0 à l'extremum
et dg = (dg/dR) dR + (dg/dH) dH = 0 sur le domaine défini par g (R,H) = (a/R)² + (pi/H)² - b =0
dF = df + n dg
= (df/dR + n dg/dR) dR + ( df/dH + n dg/dH) dH
= 0 à l'extremum
or dg/dR = -2a/R² dg/dH = -2pi/H²
df/dR = 2pi RH df/dH = pi R²
d'où 2piRH - 2 n a/R² = 0
piR² - 2 n pi/H² = 0
(a/R)² +(pi/H)² = b
alors n = pi H R^3/a
pi R² - 2pi²R^3/(aH) = 0 = piR² (1- 2pi R/(aH))
d'où R/H = a/(2pi)
application numérique : a = 2.4048 soit R/H = 0.1222
Conclusion: Donc le rapport R/H doit être de 0.1222 si a = 2.4048 pour que le volume du coeur soit minimum
je trouve bizarre de ne pas me servir de b. est-ce normal, sinon, où dois-je l'utiliser?
Merci!
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