extrema d'une fonction

[invite13e0016f]

Bonjour,

il y a certaines choses que je ne comprend pas dans le corrigé de mon exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Soit la fonction f définie en coordonnées polaires sur R² et à valeurs dans R par : f(r,n) = r⁴ cos(4x).
Soit la fonction g définie sur R² et à valeurs dans R par g(x,y) = x⁴ + y⁴ - 6x²y²
g est telle que f(r,n) = g(x,y) si (x,y) et (r,n) sont respectivement les coordonnées cartésiennes et cylindriques d'un même r de R² [Ceci a été démontré dans une question précédente]

On calcule l'expresion du gradient de g en tout point et on cherche les points critiques. Voici ce qu'on trouve:

grad g = ( 4x³-12xy²; 4y³ -12 x²y)
On cherche pour quelles valeurs de x et y le gradient s'annule on trouve alors les couples suivants :

(0,0)
(y rac(3), x rac(3))
(-y rac(3), -x rac (3))

[ce corrigé a été donné par le prof]

Ma question: le prof écrit ensuite qu'il n'y a qu'une seule solution, le couple (0,0).
Je ne comprend pas très bien pourquoi, est-ce parce-que dans les deux autres couples, les variables x et y sont liées?

Merci!
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[invitea41c27c1]

(y rac(3), x rac(3))
(-y rac(3), -x rac (3))

Ca n'a pas de sens de dire que ces points annule de gradient de g...

Si tu resouds le systeme



Tu vois qu'il n'y a que la solution (0,0).
Par contre je ne sais pas ce qu'a voulu dire ton prof.

[invite13e0016f]

en fait, je crois qu'il a voulu prendre les solutions du système en x² et y²:
x²-3y²=0
y²-3x²=0

mais en fait, en réfléchissant, j'ai vu que le déterminant est nul. c'est pour cela que ces solutions sont fausses non?