Extrema locaux et extrema globaux

[invite3ef5304d]

Bonsoir,

Je dois faire un exercice sur une étude d'un fonction à plusieurs variable, et je bloque sur les extremums locaux et globaux à trouver.

J'ai compris qu'il faut chercher les points critiques de la fonction, et qu'un point critique est un point qui annule le gradient. Mais, après je ne comprends pas comment aller plus loin dans l'étude...

Partout où je vais, je vois que l'on parle de Hessienne, mais je n'ai pas vu le calcul matriciel encore. Et la seule explication que j'ai sur les extrema locaux et globaux est le cours que j'ai ci-dessous.

Je n'ai d'ailleurs pas trop saisi la différence entre extrema locaux et globaux, et pour trouver des extrema globaux.

Pouvez-vous m'éclaircir un peu sur tout ça, s'il vous plait?

Voici mon cours, ci-dessous:

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[invite57a1e779]

En fait, en plusieurs variables, c'est la même chose qu'avec une variable, avec un peu plus de calculs.

Pour une fonction de dans lui-même, avec une classe de dérivabilité suffisante, on a une condition nécessaire d'extremum local qui est .

Par exemple avec qui s'annule en 1 et -1 ; ne peut présenter d'extremum en ces points.
Ta définition conduirait à étudier la nature de l'extremum éventuelle par inégalités, mais on a une condition suffisante du second ordre avec le signe de :
– , au voisinage du point 1, est convexe donc présente un minimum local en ce point ;
– , au voisinage du point 1, est convave donc présente un maximum local en ce point.

Bien évidemment, avec , la dérivée ne s'annule qu'en 0, mais ne présente pas d'extremum en ce point, il y a une inflexion du graphe.

Avec plusieurs variables, c'est l'annulation du gradient qui remplace l'annulation de la dérivée pour déterminer les points critiques en lesquels peuvent se présenter les extrema locaux. La condition de hessienne, que tu évoques, remplace la condition de signe de la dérivée seconde.

Mais les méthodes différentielles ne permettent que de discriminer les extrema locaux ; pour déterminer si l'extremum est global, il faut faire une étude globale de la fonction.

Je reprends qui présente un minimum local en 1, de valeur , mais on peut montrer, par l'étude des variations de que l'on a sur seulement : le minimum n'est pas global.

Par contre, avec qui présente un minimum local en 0, de valeur , on peut montrer que l'on a pour tout réel : le minimum est global.

[invite3ef5304d]

Bonjour,

Je n'ai pas encore tout saisi en détail, mais j'ai une autre question.
Sur ce même exercice, je dois prouver que la fonction à plusieurs variables est de classe , c'est a dire qu'il faut prouver qu'elle est différentiable, non?

J'ai vu que l'on pouvait montrer qu'une fonction est différentiable, si ses dérivées partielles sont continues. Le truc, cest que l'on me demande d'abord de prouver qu'elle est de classe et après seulement de calculer les dérivées partielles, je ne peux donc utiliser cette méhode, non?

Autrement il y aussi la propriétée que f est différentiable en un point s'il existe une forme linéaire ou application linéaire.
J'aimerais juste savoir que si elle est différentiable en un point, est ce que l'on peut en conclure qu'elle est différentiable sur tout l'intervalle?

Merci

[invite0387e752]

tu peux regarder si c'est une composée/somme/produit de fonctions de classe C1 (polynomiales, rationnelles, etc...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Sur ce même exercice, je dois prouver que la fonction à plusieurs variables est de classe , c'est a dire qu'il faut prouver qu'elle est différentiable, non?

Bonjour.
Une fonction peut-être partout différentiable mais pas C1. Elle est C1 si elle est partout différentiable et que sa différentielle est continue en tout point.
En général, on donne une fraction de polynômes à étudier. Le problème se situe alors quand le dénominateur est nul. En dehors donc du point a=(x1,x2,...,xn) ou la fonction est nulle, on dit que la fonction est un quotient de fonctions polynômiales (donc C1) dont le dénominateur ne s'annule pas. Donc la fonction est C1 partout sauf peut etre en a.
Une méthode pour montrer qu'une fonction est C1 est de montrer que ses dérivées partielles existent et sont continues. (par contre, le fait que les dérivées partielles existent n'est même pas suffisant pour montrer que la fonction est différentiable)
On calcule donc les dérivées partielles en a par rapport aux différentes variables. Si elles existent (valeurs différentes de l'infini), reste à calculer la limite de la fonction en a, pour cela on la majore (car en fait la limite de la fonction dépend de comment tu fais tendre les différentes variables vers leurs valeurs respectives x1, x2,..., xn et nous on veut un truc général).

[invite3ef5304d]

Merci pour vos réponse.

La fonction que j'ai à étudier est
Donc, elle ne s'annule pas au dénominateur...

[invitebb921944]

Certes mais tu as le même problème puisque racine(x²-y²) est C1 partout sauf peut être en (a,a) et (-a,a)
Donc tu es obligé d'étudier ces cas particuliers. Ailleurs, tu as bien un quotient de fonctions C1 dont le dénominateur ne s'annule pas et ta fonction est bien C1..

[invite3ef5304d]

Oui, d'ailleurs à l'une des premières questions, il fallait déterminer le domaine de definition de cette fonction est j'avais trouvé qu'elle est définie sur

[invitebb921944]

Oui c'est juste mais l'inégalité n'est pas stricte (et tu dois pouvoir la réécrire plus joliment avec des valeurs absolues). D'autre part, si je dis qu'elle n'est pas nécessairement C1, c'est que lorsqu'on la dérive, la racine passe au dénominateur et on a des soucis en les valeurs pour lesquelles il (ce fameux dénominateur) s'annule.

[invite3ef5304d]

Oui, on peut l'améliorer :

Par contre, je l'aisse une inégalité strice parce que parce que si on pourrait mettre . Mais cet ensemble n'est pas ouvert. On a un problème, si alors on aura des difficultés pour dériver en tout point. Donc, on doit garder une inégalité stricte.

non?

[invitebb921944]

Certes, il est mieux de définir ta fonction sur un ouvert mais le domain de définition a priori, ce n'est pas toi qui le choisit.
Le domaine de définition de f, c'est les (x,y) où f est définie. Dans f, ton racine(x²-y²) n'apparait pas au dénominateur, il n'y a donc aucun problème si |x|=|y|.

[invite3ef5304d]

Merci pour toutes ces explications, je comprends beaucoup mieux maintenant.