Système 4 équations, 4 inconnues récalcitant

[jmh60240]

Système 4 équations, 4 inconnues récalcitrant

Système 4 équations à 4 inconnues (X, Y, Z et T) réelles
Les coefficients (a, b, c et d) sont réels
Les coefficients (p, q, r et s) sont chacun soit = +1 soit = -1

X + p Y = a
Z + q T = b
X + r Z = c
Y + s T = d

Je ne réussis pas à trouver une méthode de résolution qui fonctionne, ni par « pivot » ni par le « déterminant »

1er exemple :
a = 6 ; b = 12 : c = 9 ; d = 9 et p = q = r = s = 1
Les solutions sont : X = 1 ; Y = 5 ; Z = 8 : T = 4

2ème exemple :
a = 8 ; b = 6 : c = 13 ; d = 8 et p = r = s = 1 et q = -1
Les solutions sont : X = 3,5 ; Y = 4,5 ; Z = 9,5 : T = 3,5

Solutions obtenues par de longs tâtonnements
Qui pourrait me donner une méthode de résolution plus « mathématique » ?
Merci à tous
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[danyvio]

Une piste (peut-être) : Par substitutions successives on obtient Y en fonction de X, puis T en fonction de Y, puis Z en fonctions de T, puis .. X en fonction de X, avec une expression abominable (à vérifier !!) X= (csp-bsp+dbq-aq+qX)/spr qu'il faut manipuler pour obtenir X= fonction de a, b, c, d, s, p, q, r

Je ne suis pas allé plus loin, faute de crayon et taille-crayon et gomme pour me corriger.

Bon courage !

[jacknicklaus]

Il est assez facile d'obtenir un système en Y et Z seulement

X + p Y = a
X + r Z = c

donc pY - rZ = a-c

puis :

Z + q T = b
Y + s T = d

q et t valant +-1, on multiplie l'une des équations par -1 si besoin, et on somme pour éliminer les T. par exemple si q = s = 1
Z - Y = b -d

Résoudre alors le système 2x2
pY - rZ = a - c
-Y + Z = b -d


Et puis terminer avec X et T.

[Biname]

Salut,

Quelle est la probabilité de résoudre ce problème élémentaire sans se tromper au moins cinq fois ?

https://www.wolframalpha.com/input/?...B+s+t+%3D+d%22

Biname

[A voir en vidéo sur Futura]

[jmh60240]

Bonjour
Merci pour vos réponses, toutefois ce n'est pas encore ça.
Il suffit d'essayer aven les valeurs des 2 exemples que j'ai donnés :
Avec la solution de Jacknicklaus on arrive à 0 = 0 mais pas aux solutions.
Et avec la solution de Biname, on a des dénominateurs (qr-ps) qui sont = 0 suivant les signes de p, q, r et s.

[gg0]

Bonjour Jmh60240.

Tu te trompes sur les solutions dans ton premier exemple
Pour a = 6 ; b = 12 : c = 9 ; d = 9 et p = q = r = s = 1, il y a une infinité de solutions (X=8, Y=-2,Z=1,T=11, par exemple est une autre solution)
Le fait qu'on arrive à 0=0 dans la méthode de Jacknicklaus indique simplement qu'on peut choisir une variable et calculer les autres avec. Comme on a une infinité de valeurs pour cette variable, il y a une infinité de solutions (*).

Et cela va arriver chaque fois que qr=ps.

Donc maintenant tu as tout ce qu'il te faut :
Si qr-ps n'est pas nul, tu utilises la formule de Wolfram
Si qr=ps, tu sais que tu peux calculer trois des variables en fonction de la quatrième et tu en fais ce que tu veux.

Cordialement.

(*) En choisissant Z comme valeur de base, on a X=9-Z, Y=Z-3 et T=12-z.

[jmh60240]

Effectivement, si on fixe une variable (par ex: X) tout fonctionne, ce qui est bizarre pour un système 4 équations 4 inconnues qui devrait avoir une solution unique.
Toutes les méthodes de déterminants ont échoué car pq-rs est trop souvent nul
Merci pour ta résolution

[gg0]

ce qui est bizarre pour un système 4 équations 4 inconnues qui devrait avoir une solution unique.

Non, c'est faux, presque tous les systèmes paramétriques de n équations linéaires à n inconnues rencontrent ce problème (certains ont même toujours une infinité de solutions).

Si pq-rs est trop souvent nul, c'est que tu es dans des conditions très particulières, qui devraient faire partie de la résolution du problème. Les méthodes correctes de déterminants donnent les résultats (une seule solution/une infinité de solution/pas de solution). Ne pas confondre avec une méthode incorrecte de calcul "comme si le déterminant principal était non nul".

Cordialement.

[Black Jack 2]

X + p Y = a (1)
Z + q T = b (2)
X + r Z = c (3)
Y + s T = d (4)

X + p(d - s.T) = a (avec (1) et (4))
X + r (b - qT) = c (avec (2) et (3))

Et te voila ramené à un système de 2 équations à 2 inconnues (X et T)

X + p(d - s.T) - X - r (b - qT) = a - c
p(d - s.T) - r (b - qT) = a - c
T(-s.p + rq) = a - c - p.d + r.b
T = (a - c - p.d + r.b)/(-s.p + rq) ... si -s.p + rq <> 0

X = ... à partir de X + p(d - s.T) = a

avec (4) Y = ...
avec (2) Z = ...
************
Traiter à part le cas : -s.p + rq = 0