Système de 3 équations à 3 inconnues

[invite9b4c3d68]

Bonjour à tous,

Je viens vers vous car je suis un peu embêté avec ce système d’équations. En effet cela fait plusieurs jour que je me casse le crâne dessus à grand coup de Wikipédia et de forums mais rien n'y fait.
Si l'un de vous aurez l'amabilité d'y jeter un coup d’œil, je vous en serez très reconnaissant.

Voici le système:

P = 2 (A+B)
L = B + ( A/tan a)
Lm = B + ( A/sin a)

Avec S et Lm des constantes, L une variable et A,B et a des inconnues.

De cela j'aurais aimer connaitre A(L), B(L) et a(L).

Je prends tous ce que vous auriez à me donner, des pistes, des astuces, méthodes, réponses, etc...

PS: L'énoncer est un problème de géométrie donc si vous avez besoin de plus de détails, hésitez pas à demander je fournirais les infos nécessaires.

Cordialement.
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[invite718cec2d]

Bonjour,

Peux tu nous donner un dessin de ton problème ?

[Resartus]

En écrivant (2)-(3) et en posant t=tg(a/2) , on trouve facilement que At=Lm-L,ce qui donne A=(Lm-L)/t

Ensuite en posant (1)/2 -(2), on a A(1-1/tg(a))=P/2-L, ce qui en introduisant tg(a)=(1-t^2)/(1+t^2) donne une équation du troisième degré en t qu'on peut (avec beaucoup de courage), résoudre algébriquement....

La bonne nouvelle, c'est qu'il y a toujours une solution (mais peut-être 3, selon le discriminant)....

[Resartus]

GROS lapsus : tg(a) vaut 2t/(1-t^2)... Le reste inchangé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b4c3d68]

Bonjour,

Alors voici le problème avec un schéma:

DSC_0425.jpg

Sur celui-ci vous pouvez voir A en violet, B en orange, L en bleu, Lm en rouge et a en vert. P étant le périmètre du rectangle formé par A et B. Sachant que le système est symétrique par son milieu. Si vous avez de nouvelles idées pour résoudre ce problème, je prends.

Merci pour ton aide Resartus, le problème étant que je n'ai pas fais de math depuis plus de 4 ans, j’avoue avoir un peu du mal... Déjà qu'à l'époque c'était pas ça.
Enfin bref, sinon je ne vois pas comment de A ( 1- ( 1 - t^2) / 2t ) = P/2 - L , du coup, tu obtiens une équation du 3eme dégrée ?
En effet, j'arrive à sortir t^2 - t ( 2 ( P/2-L)/A -2 ) -1 =0. Serait-ce faux ? Sinon je peux aisément résoudre cela.

[Resartus]

I faut remplacer A qui vaut (Lm-L)/t, et cela donne une équation du 3ème degré en t.

[invite9b4c3d68]

Oh, oui en effet. Je me perd un peu.

Merci, je tiendrais au courant si j'arrive à résoudre mon problème. N'hésitez pas à proposer d'autre méthodes de résolution qui vous viendrait à l'idée.

[invite9b4c3d68]

Bon, j'ai beau faire et refaire je trouve finalement: t^2 ( L/2-Lm/2-P/2+L) + t ( Lm-L ) + L/2-Lm/2 = 0.
Le problème étant que, ce n'est pas une équation du 3ème dégrée comme attendu et même si je passe outre, que je la résous, je trouve des résultats cohérents excepté pour B. Si je le calcule avec l'équation (1) ou la (2) je ne trouve pas le même résultat... Arg !

J'aimerais savoir si cette équation est juste, et savoir pourquoi est-ce que j'ai faux.

Encore merci pour votre attention et votre patience.

[gg0]

Ecris tes calculs,

si ton résultat est faux, comment te dire pourquoi ?

[Resartus]

C'est moi qui avais fait une erreur de calcul. L'équation est bien du second degré. Par contre, je trouve (Lm+L-P)/2 pour le coefficient de t².

[invite9b4c3d68]

Bonjour,

Alors mes calcules, en prenant:

(Lm-L)/t * ( 1- (1 - t^2)/2t = P/2 - L

On obtient par développement et par simplification:

(Lm-L)/t - (Lm-L)/2t^2 - (Lm-L)/2 = P/2 -L

Qu'on peut encore développer en :

Lm/t - L/t - Lm/2t^2 + L/2t^2 - Lm/2 + L/2 = P/2 -L

En multipliant par t^2 devient:

Lmt - Lt - Lm/2 + L/2 -Lmt^2/2 + Lt^2/2 =Pt^2/2 - Lt^2

Ce qui en factorisant donne:

t^2 (L/2 - Lm/2 -P/2 +L) + t ( Lm - L ) - Lm/2 + L/2 = 0

De là: D=b^2-4ac; t1=(-b+D^0.5)/2ac; t2=(-b-D^0.5)/2ac mais est négatif. Et t0=-b/2ac au cas où.

Avec t=tan(alpha/2); alpha= 2 atan t

Et avec ca ben je trouve 2 valeurs différentes pour B en utilisant soit:

B = P/2 - A et B = L - A/tan(alpha) ou B = Lm - A/sin(alpha), ce qui en générales prouve une erreur ( Si ma logique est bonne. ^^)

Pour ce qui est de notre différence de résultat, cela ne viendrait-il pas d'un oublie du L dans le *= P/2 - L ?

[Resartus]

ici :

On obtient par développement et par simplification:

(Lm-L)/t - (Lm-L)/2t^2 - (Lm-L)/2 = P/2 -L

C'est un plus qu'il faut:

(Lm-L)/t - (Lm-L)/2t^2 + (Lm-L)/2 = P/2 -L

[invite9b4c3d68]

Wow... Ça c'est de l'erreur... Oui du coup on trouve bien votre résultat.
Cependant je trouve toujours des valeurs différentes pour B.

[invite9b4c3d68]

Bonjour à tous,

Je reviens vers vous après avoir étudié le problème sous différentes coutures et j'aimerais vraiment réussir à comprendre.

Donc ce que j'ai fais:

J'ai donc fais un système d'équation avec les équations citées plus tôt, j'ai trouvé alpha, puis A et B.
Ensuite j'ai appliqué Pythagore afin d'obtenir A puis B et finalement alpha.

La bonne nouvelle c'est que malgré toutes les équations possibles je trouve toujours des A et B identiques.
Cependant je trouve des alpha différents ( de 90° exactement) entre les différentes méthodes.

Et lorsque je tente de retrouver mes paramètres Lm et L de départ, en utilisant le premier alpha, je trouve un L juste et un Lm faux, et inversement en utilisant le second.

Et je ne comprend pas pourquoi. Expliquer moi svp...

Les équation découlant des méthodes:

alpha = 2 atan t
t^2 ( P - L - Lm)/2 + t (- Lm + L) + ( Lm - L) /2 = 0

B^2 + B ( 2Lm - 2L -P) + P^2/4 +L^2 - Lm^2 = 0

Avec toujours:

L = B + A/tan alpha
Lm = B + A/sin alpha
A+B = P/2