système n équations n+1 inconnues

[biloux911]

Bonjour à tous,

On m'a proposé de résoudre ce système :



Plus précisément la question est combien vaut a+b+c+d ?

J'ai trouvé une solution que je pense unique mais "salement" (j'ai tourné les chiffres jusqu'à trouver une simplification sympathique ).

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somme = 4

J'ai remarqué aussi que la matrice est symétrique (je ne sais pas si c'est vrai en fait) et que les chiffres sont les carrés de 1,2,3,4,5,6 mais ça ne m'a pas aidé (il faut dire que les cours remontent déjà à loin pour moi) j'aimerai avoir la méthode propre pour résoudre ce problème.

Merci à vous
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[Médiat]

Bonjour,

Deux façons de résoudre ce problème :
1) ajouter l'équation a + b + c + d = x, où x est un paramètre, on se retrouve avec 4 équations à 4 inconnues, en résolvant ce système, une condition sur x apparaitra pour qu'il existe une solution.
2) soustraire les lignes 3 et 2 puis les lignes 2 et 1 , puis soustraire ces deux résultats (ce qui revient à ajouter les deux lignes 1 et 3 et à soustraire le double de la ligne 2).

Le fait que les nombres soient des carrés n'est pas pertinent ici (c'est le fait que les différences de deux éléments successifs (1,4,9,16,25,36) forment une suite arithmétique)

[biloux911]

Wahoo !

Ok pour le point 1)

Comment voir cette astuce du point 2) ??? Est-ce lié à la remarque en fin de message ?

Par ailleurs, j'ai trouvé un quadruplet solution, ces méthodes ne permettent pas d'y arriver si ? unicité de solution ?

Merci encore

[Médiat]

Comment voir cette astuce du point 2) ??? Est-ce lié à la remarque en fin de message ?

Oui, et les différences entre carrés successifs forment la suite des nombres impairs (d'où l'idée du point 2).

Par ailleurs, j'ai trouvé un quadruplet solution, ces méthodes ne permettent pas d'y arriver si ? unicité de solution ?

Une fois que l'on a pu ajouter l'équation a+b+c+d = 4, il est possible de trouver la solution (unique) par les méthodes usuelles (déterminant pas exemple)

[A voir en vidéo sur Futura]

[biloux911]

Je n'arrive pas à voir comment tu peux utiliser le fait que 1,4,9,16,25 forment une suite arithmétique pour voir la simplification du système

Moi je n'avais pas travaillé sur les matrices, j'avais posé A = a + b + c + d puis réécrit le système. Ta simplification est alors encore plus directe puisque tout disparaît sauf mon A mais je n'avais pas été foutu de la voir

Merci encore en tout cas

[Médiat]

Je n'arrive pas à voir comment tu peux utiliser le fait que 1,4,9,16,25 forment une suite arithmétique pour voir la simplification du système

Attention ce n'est pas 1,4,9,16,25 qui est une suite arithmétique, mais les différences : 3, 5, 7, 9, dont les différences sont 2, 2, 2 (et voilà pourquoi cela marche) ; pour le voir il suffit d'avoir de l'expérience (une autre façon de dire "être vieux" )

[biloux911]

Oui mon clavier était en retard sur mon cerveau, je parlais aussi de la différence ! Mais tu vois 2, 2, 2, 2 tu cherches à faire apparaître quoi ? Ça doit te paraître tellement évident que tu ne l'explique pas aussi bien que le reste

[Médiat]

Dans mon premier message j'ai bien fait apparaître au point 2 que l'on commençait par faire deux différences puis la différence des différences et donc les coefficients des inconnues sont (ici) 2, 2, 2 et 2 (c'est à dire ce que l'on cherche à un facteur 2 près).

1) 1 4 9 16
2) 4 9 16 25
3) 9 16 25 36

3) - 2) 5 7 9 11
2) - 1) 3 5 7 9

[ 3) - 2) ] - [2) - 1)] 2 2 2 2 (et c'est gagné)