Création DM de maths

[chloe4559]

Bonjour à tous,

pour animer un peu notre confinement, notre prof d'algèbre nous a demandé de créer nous même un DM, et d'en proposer un corrigé. Il a dit que l'originalité et la complexité des exercices proposés (il en faut deux) serait prises en compte. Alors pour le côté complexe, je ne suis pas sure de marquer énormément de point parce que sur les exercices de bases j'ai parfois déjà du mal, notamment quand on ne peut pas étudier correctement à distance mais j'aimerais essayer de mùe démarquer côté originalité.

Le DM doit porter sur : espaces vectoriels, sous–espaces vectoriels, familles libres, familles génératrices, bases, dimension,
applications linéaires, matrices, déterminants, produit scalaire, produit vectoriel. Sachant que nous n'avons pas encore vu les trois derniers points.

J'ai d'abord penser faire par exercice deux parties, une première partie sur les bases, par exemple résoudre un système grâce à la méthode du pivot de gauss avec un paramètre à déterminer, où encore donner deux vecteurs et dire en fonction d'un paramètre, pour quelles valeurs de ce paramètres les vecteurs forment-ils une famille libre/génératrice/base. Puis une deuxième partie avec un exercice concret, soit avec une histoire (mais je ne vois vraiment pas quoi faire) où peut-être quelque chose de plus théorique en essayant d'apporter un peu de difficulté à mon niveau.

Pourriez vous me donner votre avis et me dire si vous auriez une idée pour une mise en contexte d'exercice par exemple.

Merci d'avance
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[minushabens]

pour combiner sous-espaces vectoriels, bases, matrices tu peux peut-être construire un exercice sur l'espace vectoriel des matrices nxn. Par exemple s"intéresser au sous-ensemble des matrices symétriques: est-ce un sous-espace vectoriel? si oui en déterminer une base. Il y a d'autres ensembles de matrices remarquables. A toi d'en proposer des exemples. Mais je suppose qu'il faut aussi fournir le corrigé, donc il faut que tu saches résoudre l'exercice.

[chloe4559]

D'accord, merci ça peut en effet être une bonne idée. Oui, il faut que je créer un exercice et que je propose une correction pour celui enfin deux exercices.

J'aimerais bien pour me démarquer (ce que le prof a d'ailleurs trouver pas mal quand je lui est soumis l'idée) trouver une mise en situation pour un exercice. Seulement je ne vois pas du tout dans le cas des matrices et des sous-espaces vectoriels une idée de mise en situation.

[slivoc]

Salut!

Une mise en situation pour les matrices et ss-espaces vectoriels, classique, je crois, est par exemple un système proie prédateur ( je crois que c' est Lotka-Volterra, mais pas sur), qui fait intervenir une population de lapins (proies) et loups (prédateurs). Où le but est de déterminer, étant donnée une situation initiale et 4 paramètres, qui sont donnés sous forme d' une matrice carré, si il va y avoir une situation d' équilibre ( à l' infini) entre le nombre de lapins et le nombre de loups, ou non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

Salut ! merci beaucoup c'est une super bonne idée, je peut trouver une trame sur internet ?

Je suis allée voir sur internet mais c'est plus axé sur la physique non ? J'ai pas l'impression qu'on puisse faire intervenir les matrices... dedans

[slivoc]

Si tu cherches "proies prédateurs discret" tu devrais trouver. En te donnant un lien ,je risquerai de te donner un exercice tout fait ... L' utilité des matrices pour cet exercice vient du fait, que quand on essaye regarder ce qui se passe en temps long, on essaye en fait de regarder A(^n).X, où A est une matrice carré 2*2 et X un vecteur,pour n grand. Pour calculer A^n, il y plusieurs façon, la moins efficace est de calculer successivement A^2, A^3, etc ... Mais tu peux aussi voir A comme la matrice d' un endomorphisme de R² ( dans la base can.), notons le f. Il se peut, que dans une autre base, f se représente par une matrice dont les puissances se calculent beaucoup plus simplement, par exemple si il existe une base de R² telle que la matrice de f dans cette base soit diagonale ( calculer les puissances d' une matrice diagonale est simple !). Revenons à A, du coté matrice, ce que tu cherches à faire, c' est trouver une matrice P inversible telle PAP^(-1) soit diagonale ( cela n' existe pas toujours ! ) Maintenant si PAP^-1, est diagonale, tu peux calculer les puissances très facilement, mais d' un autre coté, tu as aussi (PAP^-1)^n=PA^nP^-1. ce qui permet de retrouver A^n, et donc de regarder si les populations se stabilisent ou non avec le temps.

[minushabens]

trouver une mise en situation pour un exercice

une mise en situation c'est une application à une autre discipline que les mathématiques, ou bien tu peux rester dans le domaine mathématique? (je ne connaissais pas cette expression)

[chloe4559]

Et bien une mise en situation je qualifierais ça comme par exemple une narration autour de l'exercice.

[chloe4559]

Ah oui bah non je ne veux pas d'exercice tout fait car premièrement sinon c'est du plagias et deuxièmement car sinon l'exercice n'a plus aucun intêret. Après j'ai l'impression de rien comprendre à ce que vous venez de dire ! Enfin il y a des choses que je ne suis pas sure de maitriser. Je vais essayer de voir. Mais je comprends pas trop bien qu'est ce qui représente les proies/prédateurs.
D'autre part vous dites que c'est facile de calculer la puissance d'une matrice diagonale mais je n'ai jamais vu ca non plus... après ca doit pas être dur à trouver pour les règles de calcul.

[albanxiii]

Bonjour,

Lokta-Volterra c'est pas vraiment original. C'est du cours quasiment (à un certain niveau). D'après ce que vous dites, il me semble préférable de viser un peu moins haut, mais plus original.

[chloe4559]

Bah c'est bien ce que je me disais. Quand j'ai regardé c'était vraiment technique par rapport à ce qu'on a vu. Mais justement c'est ce que je demandais depuis le départ, quelque chose d'original sauf que je ne vois rien d'original avec les matrices, sous espaces vectoriels... et je suis venue sur le forum pour avoir des idées/pistes...

[slivoc]

Pour une matrice 2*2 diagonale , calcule A^2, A^3. Vois tu une formule, que tu obtiendrais par récurrence, pour A^n ?
Je vais essayer d' être plus clair (mais n' hésite pas si jamais ce n' est pas le cas !) : (Le système auquel je pensais n' est enfait pas lotka volterra, mais le suivant ( plus simple).)
Pour l' instant on oublie le fait de regarder ce qui va se passer loin dans le temps.
A l' année 0, tu as une population de lapins, disons x lapins, qui se reproduisent et meurent. Mais il y' a aussi une population de loups, qui se nourrissent de lapins, disons y loups, mais qui eux aussi meurent. On suppose que la seule cause de décès de lapins est la prédation par les loups, la seule cause de mort de loups est l' absence de lapins, les lapins naissent en age de se reproduire, peut etre d' autre hypothèse mais je ne vois pas lesquels ... On cherche à savoir quel sera les nombre de lapins et de loups au début de l' année 1 ( donc après 1 an). au début de l' année 1, il y aura x lapins ( ceux déjà présent à l' année 0) + le nombre de lapins né pendant l' année, qui est proportionnelle au nombre de lapins x, notons ce coeff de proportionalité. Cependant, chaque loup à besoins de manger, pour survivre 1 an, un loup à besoins de manger lapins ( là il y une hypothèse pas vraiment réaliste qui est que même si il n' a y a pas assez de lapins, les loups mangent des lapins qui n' existent pas, ce qui peut donner une population totale de lapins négative ...).
Pour le nb de loups à l' année 1: au début de l' année 1, il y aura y loups ( ceux présent à l' année 0) - la proportion de loups mort pendant l' année, notons le coeff de proportionnalité. Mais pour chaque lapin présent pendant l' année 0, il y' a loups qui sont né.

le nb de lapins et loups au début de l' année 1 est donc donné par: ( x_1 est le nb de lapins ) et , que tu peux re-écrire : = .

Vois tu comment obtenir le nombre de lapins et loups à l' année n ?

[slivoc]

Par contre albanxiii à raison, lotka volterra est, comme je le disais dans mon premier message, classique. Mon message précédent n' est aps exactement LV, mais un dérivé. Vu les points que tu n' as pas encore vu en cours, tu n' as sans doute pas abordé la réduction des endomorphismes, qui permet, notamment, de calculer plus efficacement des puissances de matrices. Mais on peut faire sans ici ( en choisissant bien les coeffs a_i )!

[chloe4559]

Du coup je suis partie sur les matrices magiques mais j'ai un petit soucis.

Je ne comprends pas comment prouver qu'une application est linéaire quand elle est écrite sous cette forme.

f(e1) = e1 +2e2 +e3
f(e2) = -e1 +e3
f(e3) = 2e1 +4e2 +3e3
f(e4) = -e1 -2e2 +e3

Pour cette application, je l'ai prise dans nos TD mais dans l'énoncé il est déjà indiqué dès le départ que c'est une application linéaire.

J'aimerais savoir pourquoi et comment peut-on le savoir car j'aimerais écrire une application sous cette forme de telle sorte que la matrice correspondante soit magique et poser comme question dans le DM, la matrice associée à cette application est elle magique ou non ?

[slivoc]

En fait, si (e_1,...e__n) est une base de E, et si (v_1,...,v_n) est une famille quelconque de vecteurs de V, alors il existe une unique application linéaire f de E dans V tq f(e_i)=v_i. Que tu peux résumer :
L(V,E) ( applications linéaires de V dans E) est naturellement en bijection avec l' ensembles des fonctions de {v_1,...,v_n} dans E. Donc, pour reprendre ton énoncé, Il suffit de spécifier f( e_1), ... f(e_4) ( si les e_i sont bien une base) pour obtenir une application linéaire !

[gg0]

Dit autrement, tes conditions :
f(e1) = e1 +2e2 +e3
f(e2) = -e1 +e3
f(e3) = 2e1 +4e2 +3e3
f(e4) = -e1 -2e2 +e3
ne définissent pas une application de E dans E (on ne connait pas les images des autres éléments, par exemple de e1+2e2). Par contre, (e1,e2,e3,e4) étant une base, elles définissent une application linéaire. Pour tout x de E, il y a des réels a,b,c et d tels que x=ae1+be2+ce3+de4, et on définit par linéarité f(x)=a.f(e1)+b.f(e2)+c.f(e3)+d .f(e4). je te laisse vérifier que f est bien linéaire.

Cordialement.