Application réciproque

[ArnoGreg]

Bonjour,

j'ai un petit problème dans la compréhension d'un point de vue méthode pour la recherche d'une application réciproque.

Dans le premier exemple, est une application d'un groupe vers lui-même, pas forcément fini, et définie par .
Dans le deuxième exemple, est une application du groupe vers lui-même (donc fini ici) et définie par , premier avec .

J'ai donc deux applications pour lesquels :
- Pour , je montre que et : j'ai donc une bijection.

- Pour , je montre que et cela suffit pour affirmer que j'ai donc une bijection.

Ma question est la suivante : pourquoi montrer les deux compositions dans le premier cas, et pas dans le second. J'ai conscience que c'est un argument de cardinalité mais je ne trouve pas l'énoncé exact.

En somme, si est une application de dans et de dans , alors la relation ne suffit pas. Que faut-il ajouter pour ce que ce soit le cas ? Que ou que ou encore autre chose ?

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !
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[gg0]

Bonjour.

Si E et F sont des ensembles finis de même cardinal, toute application injective de E vers F est une bijection; toute application surjective de E vers F est une bijection.
Si E et F sont des ensembles, si f: E-->F et g : F--E sont des applications telles que alors f est injective et g surjective.

Je te laisse démontrer ces propriétés (exercices classiques de L1/prépa) et en déduire que est une bijection.

Cordialement.

[ArnoGreg]

J'essaye. Je considère une application où sont des ensembles finis de mêmes cardinaux.



(1) Si est injective, alors réalise une bijection de sur . Donc .

En particulier, et donc .

D'où est une application de dans , donc forcément une bijection.



(2) Si est surjective, alors et donc . Donc et là je coince !

[gg0]

Par contraposition : S'il existe deux éléments de E de même image, alors card(f(E)) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Tu peux aussi raisonner sur l'ensemble des images réciproques des éléments de F { f^-1(x) pour x dans F}. C'est une partition de E (ça c'est vrai même si f n'est pas surjective) et elle a le même cardinal que F (car f est surjective) , donc que E. Or le cardinal de E est la somme des cardinaux des f^-1(x), qui sont donc tous de cardinal 1, et f est injective.

[ArnoGreg]

Pour en revenir à la démonstration du point (1) :
faut-il que soit injective pour réaliser une surjection de sur son image ? Je pense l'avoir mal rédigé.

--
Je reprends le point (2) :
Considérons une application surjective.
Cela revient à dire que .
Par conséquent, .
Or .
D'où .

Je veux montrer que est injective. Par contraposition ?

Supposons que .

Il s'agit de montrer que

Est-ce correct ?

[gg0]

La surjectivité n'a rien à voir avec l'injectivité. Toute fonction de E vers F est surjective en tant que fonction de E sur f(E). C'est d'ailleurs ce que tu avais utilisé au point 2, et que tu viens de reprendre.
Il te reste donc toujours à justifier que si f(E) et E ont le même nombre (fini) d’éléments, alors f est injective. Ça peut se faire par contraposition : montre que si f n'est pas injective, card(f(E)) < card (E). Ce n'est pas vraiment difficile, tu peux éliminer les doublons, par exemple.

[ArnoGreg]

Oui, c'est pour cela je pense que ma rédaction n'est pas bonne dans le point . Je dis "Si f est injective, alors f réalise une bijection ...". Ce qui pourrait laisser penser que c'est parce que f est injective qu'on a cette bijection.

Pour le point , vais-je dans la bonne direction en écrivant l'union disjointe suivante ?



Dès lors :



Et le premier ensemble est strictement positif si je suppose que f n'est pas injective.

[gg0]

Non, ton point 1 est tout à fait correct. Si f est injective, comme de E sur f(E) elle est aussi surjective, elle est bijective.

Ok pour ta preuve, à condition de ne pas dire "le premier ensemble est strictement positif" ce qui est absurde ! Un cardinal n'est pas un ensemble, un ensemble "positif" ça ne veut rien dire.