Application réciproque

**ArnoGreg** · 19/04/2020, 18h08

Bonjour,

j'ai un petit problème dans la compréhension d'un point de vue méthode pour la recherche d'une application réciproque.

Dans le premier exemple, $\text{[math]}$ est une application d'un groupe $\text{[math]}$ vers lui-même, pas forcément fini, et définie par $\text{[math]}$ .
Dans le deuxième exemple, $\text{[math]}$ est une application du groupe $\text{[math]}$ vers lui-même (donc fini ici) et définie par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ premier avec $\text{[math]}$ .

J'ai donc deux applications pour lesquels :
- Pour $\text{[math]}$ , je montre que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : j'ai donc une bijection.

- Pour $\text{[math]}$ , je montre que $\text{[math]}$ et cela suffit pour affirmer que j'ai donc une bijection.

Ma question est la suivante : pourquoi montrer les deux compositions dans le premier cas, et pas dans le second. J'ai conscience que c'est un argument de cardinalité mais je ne trouve pas l'énoncé exact.

En somme, si $\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , alors la relation $\text{[math]}$ ne suffit pas. Que faut-il ajouter pour ce que ce soit le cas ? Que $\text{[math]}$ ou que $\text{[math]}$ ou encore autre chose ?

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

**gg0** · 19/04/2020, 18h36

Bonjour.

Si E et F sont des ensembles finis de même cardinal, toute application injective de E vers F est une bijection; toute application surjective de E vers F est une bijection.
Si E et F sont des ensembles, si f: E-->F et g : F--E sont des applications telles que $\text{[math]}$ alors f est injective et g surjective.

Je te laisse démontrer ces propriétés (exercices classiques de L1/prépa) et en déduire que $\text{[math]}$ est une bijection.

Cordialement.

**ArnoGreg** · 19/04/2020, 20h27

J'essaye. Je considère $\text{[math]}$ une application où $\text{[math]}$ sont des ensembles finis de mêmes cardinaux.

(1) Si $\text{[math]}$ est injective, alors $\text{[math]}$ réalise une bijection de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ .

En particulier, $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , donc forcément une bijection.

(2) Si $\text{[math]}$ est surjective, alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ et là je coince !

**gg0** · 19/04/2020, 21h03

Par contraposition : S'il existe deux éléments de E de même image, alors card(f(E)) ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9dc7b526 · 19/04/2020, 21h30

Tu peux aussi raisonner sur l'ensemble des images réciproques des éléments de F { f^-1(x) pour x dans F}. C'est une partition de E (ça c'est vrai même si f n'est pas surjective) et elle a le même cardinal que F (car f est surjective) , donc que E. Or le cardinal de E est la somme des cardinaux des f^-1(x), qui sont donc tous de cardinal 1, et f est injective.

**ArnoGreg** · 26/04/2020, 14h32

Pour en revenir à la démonstration du point (1) :
faut-il que $\text{[math]}$ soit injective pour réaliser une surjection de $\text{[math]}$ sur son image $\text{[math]}$ ? Je pense l'avoir mal rédigé.

--
Je reprends le point (2) :
Considérons une application $\text{[math]}$ surjective.
Cela revient à dire que $\text{[math]}$ .
Par conséquent, $\text{[math]}$ .
Or $\text{[math]}$ .
D'où $\text{[math]}$ .

Je veux montrer que $\text{[math]}$ est injective. Par contraposition ?

Supposons que $\text{[math]}$ .

Il s'agit de montrer que $\text{[math]}$

Est-ce correct ?

**gg0** · 26/04/2020, 17h13

La surjectivité n'a rien à voir avec l'injectivité. Toute fonction de E vers F est surjective en tant que fonction de E sur f(E). C'est d'ailleurs ce que tu avais utilisé au point 2, et que tu viens de reprendre.
Il te reste donc toujours à justifier que si f(E) et E ont le même nombre (fini) d’éléments, alors f est injective. Ça peut se faire par contraposition : montre que si f n'est pas injective, card(f(E)) < card (E). Ce n'est pas vraiment difficile, tu peux éliminer les doublons, par exemple.

**ArnoGreg** · 26/04/2020, 22h02

Oui, c'est pour cela je pense que ma rédaction n'est pas bonne dans le point $\text{[math]}$ . Je dis "Si f est injective, alors f réalise une bijection ...". Ce qui pourrait laisser penser que c'est parce que f est injective qu'on a cette bijection.

Pour le point $\text{[math]}$ , vais-je dans la bonne direction en écrivant l'union disjointe suivante ?

$\text{[math]}$

Dès lors :

$\text{[math]}$

Et le premier ensemble est strictement positif si je suppose que f n'est pas injective.

**gg0** · 26/04/2020, 22h16

Non, ton point 1 est tout à fait correct. Si f est injective, comme de E sur f(E) elle est aussi surjective, elle est bijective.

Ok pour ta preuve, à condition de ne pas dire "le premier ensemble est strictement positif" ce qui est absurde ! Un cardinal n'est pas un ensemble, un ensemble "positif" ça ne veut rien dire.

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