Le théorème fondamental de l'arithmétique

**ArnoGreg** · 18/04/2020, 15h04

Bonjour,

j'aimerais être précis dans l'écriture de ce théorème. Il stipule que pour tout entier naturel $n\ge 2$ il existe un unique $k$ -uplet de couples $(a_1,p_1),\cdots ,(a_k,p_k)$ , $k>0$ , tels que $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ .

où :
- les $p_i$ sont des nombres premiers 2 à 2 distincts ;
- les $a_i>0$ .

Je pense que c'est cela.
Toutefois, j'aimerais savoir comment l'écrire différemment pour inclure le cas n=1. J'écris :

Tout entier naturel $n\ge 1$ il existe un (unique ?) $k$ -uplet de couples $(a_1,p_1),\cdots ,(a_k,p_k)$ , $k>0$ , tels que $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ .
où :
- les $p_i$ sont des nombres premiers 2 à 2 distincts ;
- les $a_i\ge 0$ .

Je ne suis plus certain de l'unicité. Je crois qu'elle est perdue. En revanche, je suis certain qu'il faut autoriser les exposants à pouvoir être nuls pour pouvoir l'écrire. Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

**mehdi_128** · 18/04/2020, 15h11

Salut,

1 peut s'écrire sous cette forme en prenant comme convention tous les alpha_i =0 si p_i n'est pas un diviseur de n.

invite51d17075 · 18/04/2020, 15h14

bjr,
1 n'est pas considéré comme un nb premier ( même s'il le fut antérieurement )
donc la décomposition n'est valable qu'à partir de n=2.
par ailleurs, autoriser les exposants à être nuls revient à autoriser des facteurs en $p_i^0=1$ , ce qui est d'une part inutile, et surtout supprime l'unicité de la décomposition.

**ArnoGreg** · 18/04/2020, 15h32

La question n'est plus tellement de savoir si 1 est premier ou non. Je cherche à savoir si mon théorème ainsi annoncé est correct ?

Envoyé par Théorème

Pour tout entier naturel $n\ge 1$ il existe un unique $k$ -uplet de couples $(a_1,p_1),\cdots,(a_k,p_k)$ avec $k>0$ tels que $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$
où :
- les $p_i$ sont des nombres premiers 2 à 2 distincts ;
- les $a_i\ge 0$

Précisément, par le fait de commencer à $n=1$ , est-ce que :
- il y a unicité ?
- $k>0$ ?
- les $p_i$ sont toujours 2 à 2 distincts ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 18/04/2020, 15h38

Voici la réponse à votre question.

Nom : 1.png
Affichages : 1421
Taille : 921,0 Ko

**ArnoGreg** · 18/04/2020, 15h41

Je ne peux pas accéder à la pièce jointe ?

**jacknicklaus** · 18/04/2020, 15h43

Envoyé par ArnoGreg

- il y a unicité ?
- $k>0$ ?
- les $p_i$ sont toujours 2 à 2 distincts ?

$1 \times P_i^0 = 1$ pour tout Pi
donc tu as ta réponse.

**0577** · 18/04/2020, 15h49

Bonjour,

le théorème tel qu'énoncé n'est pas correct: par définition, un k-uplet est ordonné et on n'a donc pas l'unicité si k>1 (permuter les éléments du k-uplet).
Pour obtenir un énoncé correct, on peut:

1) remplacer "k-uplet" par "ensemble à k éléments" et indexer les couples (a,p) par cet ensemble

ou bien

2) imposer une condition de la forme p_1>...>p_k

En remplaçant k>0 par $k \geq 0$ (et en gardant a_i>0), on obtient un énoncé qui inclut le cas n=1 (pour n=1, on a k=0 et on a unicité: il existe un unique ensemble à 0 éléments, et un produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1).

**ArnoGreg** · 18/04/2020, 18h26

Si je corrige mon énoncé, cela donne :

Pour tout entier $n\ge 2$ , on peut écrire de façon unique $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ où $p_1<\cdots<p_k$ sont $k>0$ nombres premiers (2 à 2 distincts) et $a_1,\cdots,a_k$ des entiers tous non nuls.

Pour tout entier $n\ge 1$ , on peut écrire de façon unique $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ où $p_1<\cdots<p_k$ sont $k\ge 0$ nombres premiers (2 à 2 distincts) et $a_1,\cdots,a_k$ des entiers tous non nuls.

Est-ce mieux ?
J'ai l'énoncé dans le Ramis, donné dans le message de Mehdi. Mais je n'arrive pas à comprendre ce qu'énonce finalement 0577.

Le cas $n=1$ , je prends $k=0$ .

Dès lors $I=[[1,k]]=\emptyset$ ou $\{\emptyset\}$ ?

Par conséquent, $\prod_{i\in I}^kp_i^{a_i}=\prod_{i\in \emptyset}^kp_i^{a_i}=1$ .

J'imagine que c'est une convention ?

**gg0** · 18/04/2020, 19h52

Oui,

la convention pour une somme sur I où I est vide est qu'elle vaut 0, et pour un produit qu'il vaut 1. Ce qui permet d'avoir des règles simples sur les réunions d'ensembles d'indices disjoints.

Cordialement.

**Médiat** · 18/04/2020, 21h26

Ce théorème peut être vu comme la restriction à IN d'un théorème de Z qui est la source de la définition des anneaux factoriels : tout élément peut s'écrire comme le produit d'un inversible et d'irréductibles, de façon unique à un inversible et à l'ordre près. Sous cette forme le "problème de 1 n'existe pas.

**ArnoGreg** · 19/04/2020, 17h56

Bonjour,

je ne saisis pas ceci : "Ce qui permet d'avoir des règles simples sur les réunions d'ensembles d'indices disjoints."
Prendre cette convention qu'un produit sur un ensemble vide est égal à 1 permet en fait de faciliter des règles, mais je ne vois pas précisément lesquelles ?

**gg0** · 19/04/2020, 18h43

Si $I$ et $J$ sont des ensembles distincts (d'intersection vide)

$\sum\limits_{i \in I} x_i \ + \ \sum\limits_{j\in J} x_j =\sum\limits_{k\in I\cup J} x_k$

$\prod\limits_{i \in I} x_i \ \times \ \prod\limits_{j\in J} x_j =\prod\limits_{k\in I\cup J} x_k$

Ces deux formules sont bien pratiques (avec leurs généralisations pour plus de deux ensembles d'indices), et les conventions permettent qu'elles fonctionnent encore avec un ensemble d'indices vide. Elles évitent aussi de rajouter "non vide" dans pas mal de formules avec un seul ensemble d'indice.

Cordialement.

**ArnoGreg** · 26/04/2020, 14h03

D'accord !

Pour que ces deux formules soient valides, il faut la convention que $\sum_{i\in \empty}x_i=0$ et $\prod_{i\in \empty}x_i=1$ , je comprends mieux.

J'ai encore une question : quelle différence faire entre $\empty$ et $\{\empty\}$ ?

J'ai comme l'impression que ce n'est pas la même chose. D'un côté j'ai l'ensemble vide et de l'autre l'ensemble qui contient l'ensemble vide. Mais je ne vois pas quelle différence fondamentale cela fait et ce que cela pourrait changer en pratique.

**gg0** · 26/04/2020, 14h12

Ben .. le deuxième n'est pas vide, il a un élément.

Tu ne fais pas la différence entre n'avoir rien et avoir un sac qui est vide ??

Cordialement.

**ArnoGreg** · 26/04/2020, 21h34

Avec cette image c'est très clair !
Merci !

Le théorème fondamental de l'arithmétique

Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Re : Le théorème fondamental de l'arithmétique

Discussions similaires

Théorème fondamental de l'analyse

Théorème fondamental du calcul integral

Théorème fondamental de la géométrie

théorème fondamental de la géométrie affine

Théorème fondamental ?