Théorème fondamental de la géométrie

[invitef5381c92]

Bonjour,
j'ai des soucis avec l'exercice suivant. Je n'arrive pas à faire la fin de la question b 1) (cas liés), ni les questions 2), 3) et 4) du b.
Merci de votre aide, je désespère !

Soit (E,) et (F,) deux espaces affines réels et f de E dans F une application. On suppose que :
i) dim E 2
ii) pour toute droite affine D de E, f induit une bijection de D sur une droite affine de F
iii) si D et D' sont deux droites parallèles de E, alors f(D) et f(D') sont deux droites parallèles de F.
On se propose de montrer que f est affine.
a) montrer que f est injective et que dim F2
b) on choisit O dans E. On définit u de E dans F par u(x)=f(O+x)-f(O).
1) montrer que pour tout (x,y) dans E², on a u(x+y)=u(x)+u(y). On distinguera les cas (x,y) libres et (x,y) liés.
2) Soit x<>0 appartenant à E et m appartenant à E tel que x=. Montrer que pour tout k,il existe Lx(k) tel que u(x)=Lx(k)u(x).
3) Montrer que Lx(k) ne dépend que de k (cad ne dépend pas de x)
4) Montrer que k ->L(k) est tel que L(k)=k.
5) Conclure.
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[invitef5381c92]

Bonjour,
juste un post pour dire que j'ai réussi à faire la question 3 du b toute seule, mais pour le reste, je sèche vraiment. Et j'ai une question supplémentaire : est ce que f conserve les rapports de distance : si AB=MN, est ce que l'on a f(A)f(B)=f(M)f(N) ? Cela pourrait peut-être me débloquer en partie.
Merci de me répondre !

[invite986312212]

pour montrer que f est injective, tu prends deux point distincts de E et tu doit montrer que leurs images sont distinctes. Mais 2 points distincts définissent une droite. Or la restriction de f à une droite est injective par hypothèse, d'où le résultat.

au fait, c'est quoi le "théorème fondamental de la géométrie" ? parce que de théorèmes de géométrie il y en a pas mal...

[invitef5381c92]

Bonsoir,
Merci pour cette réponse, mais j'avais réussi à faire la première question. C'est toutes les autres qui posent problèmes (enfin, j'ai une petite partie de la question b1 et la question b3).
In fine, je dois montrer que f est affine a partir des propriétés i, ii, et iii. Je ne sais pas trop à quel théorème cela correspond, c'était juste le titre de mon exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

c'est quoi le "théorème fondamental de la géométrie" ?

C'est la caractérisation des transformations affines par la conservation du parallélisme.

[invite57a1e779]

C'est toutes les autres qui posent problèmes (enfin, j'ai une petite partie de la question b1 et la question b3).

La question de la démonstration de ce « théorème fondamental » a déjà été abordée sur le forum, et j'avais répondu : regarde sur ce lien.

[invitef5381c92]

J'avais vu cette discussion au début, mais je ne pensais pas qu'elle pouvait s'appliquer dans mon cas (et je n'y comprenais pas grand chose).
Mais entre temps j'ai eu des aides et je comprends mieux maintenant.
Désolée si ma discussion est inutile. Et merci à ceux qui m'ont répondu !