théorème fondamental de l'algèbre (théorie des fonctions)

[Bartolomeo]

Bonjour,

si on admet que le polynome

de degré n > 0 n´ait pas de racine dans .
Comment montrer que
?
Où et la courbe le long du cercle de ryon R > 0 dans le sens positif.

Cordialement.
Bart
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

c'est une simple applicattion du théorème des résidus :

P n'as pas de zéros (sic) donc 1/P est holomorphe, donc le seul pole de a0/zP(z) c'est le pole en 0 de résidu a0/P(0)= 1 d'ou le résultat.

[Bartolomeo]

merci!
Y a t´il un moyen de le montrer sans le théorème des résidus?

[invite986312212]

démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss ou bien démontrer la formule intégrale que tu donnes?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e5fadca]

Je pense mais je me trompe peut-être que l'exercice posé est la première étape pour démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss à l'aide du théorème des résidus. Un professeur nous la déjà démontrer de cette manière.

[invite4ef352d8]

"Y a t´il un moyen de le montrer sans le théorème des résidus? " >>> honètement je pense pas... c'est exactement l'enoncé du th des résidus donc bon... maintenant on peut redémontrer le th des résidus, ce qui est assez simple dans le cas ou on intègre autour d'un cercle et que le pole est au centre du cercle...

[Bartolomeo]

Merci pour pour le coup de main!

a0/zP(z) c'est le pole en 0 de résidu a0/P(0)= 1 d'ou le résultat

Comme je ne maitrise pas encore le théorème de résidu je ne comprends pas comment on vient au résultat.

[taladris]

merci!
Y a t´il un moyen de le montrer sans le théorème des résidus?

Une idée en l'air:
en développant a₀/P(z) en série entière au voisinage de 0, puis en divisant ce développement par z, on "devrait" arriver au résultat.

[invite4ef352d8]

taladris >> Non ca marchera pas : le seul moyen de justifier que 1/P(z) est dévelopable en série entière sur C tout entier et d'utiliser le fait que Holomorphe => analytique, qui est une conséquence du théorème des résidus.





ce qu'il faut faire ici, c'est reprendre le principe de la preuve du th des résidu :
étape 1) montrer que l'intégrale de dépend pas de r. pour ca je pense que le plus simple est de dériver selon r (en ce ramenant à une intégrale sur [0,1] avant et en utilisant la dérivation sous le signe somme qui marche sans problème car tout est continu sur un compact) puis d'utiliser les conditions de cauchy-riemann pour montrer que la dérivé est nul (à priori c'est plus facile à dire qu'à faire, dans le cas général c'est essentiellement la formule de Green-Riemann qui fait marcher les choses, mais bon sur un cas particulier comme ca on doit pouvoir sans passer)

etape 2) : evaluer la limite quand r->0 de l'intégrale : pour ca ecrit ta fonction (ao/zP(z) ) comme 1/z + "une fonction holomorphe" montre que l'intégrale de la fonction holomorphe tend vers 0 quand r tend vers 0, et que celui de 1/z vaut 2iPi...


mais honètement, c'est très très bizard de faire cet exos sans avoir vu le théorème des résidus avant ... tu es sûr de pas être sensé le connaitre ?

[Bartolomeo]

Je viens de trouver dans un autre bouquin la méthode suivante:

.


on suppose: pour tout z complexes. En intégrant le long de avec , , il s´en suit:



Soit disant, il est possible de montrer une contradiction pour ??

Je ne sais pas si c´est la fatigue ou s´il va falloir m´appeller Boso, mais je n´arrive pas à refaire l´intégrale pour retrouver . Serait il possible de me la détailler?

[invite4ef352d8]

euh... il manque des morceaux à ta formule je pense ^^

mais à mon avi ils utilisent le théorème des résidu pour dire que l'intégrale de Q(z)/P(z) est nul...

[taladris]

taladris >> Non ca marchera pas : le seul moyen de justifier que 1/P(z) est développable en série entière sur C tout entier et d'utiliser le fait que Holomorphe => analytique, qui est une conséquence du théorème des résidus.

Pas forcément. On peut démontrer qu'une fonction holomorphe est analytique à partir du théorème de Cauchy et de la formule de Cauchy. Bon, on peut voir ces deux théorèmes comme des cas particuliers du théorème des résidus mais on peut les démontrer bien avant le théorème des résidus.

En plus, ici, on parle de l'inverse d'un polynôme qui ne s'annule nul part, donc pas besoin d'invoquer de gros théorème pour montrer qu'il est développable en série entière.

[invite4ef352d8]

Taladris >>> je sais pas :

-la formule de cauchy est suffisente pour faire l'exo. donc on est ramener aux même problème.

-les seuls preuves "directe" de la formule de cauchy que je connaissent qui soit significativement plus simple que celle du théorème des résidu marche seulement pour les fonction analytique. pas pour les fonction holomorphe en génèral.

- je vois pas comment tu compte montrer qu'un polynome qui ne s'annule pas à un inverse dévelopable en série entière sans invoquer plus ou moins directement le théorème de Gauss d'Alembert...

(le fait que 1/P est dévelopable en série avec pour rayon le module de la plus petite racine de P, utilise de facon essentielle le théorème de d'Alembert Gauss il me semble...)

[invite4ef352d8]

Taladris >> dans mon message précedent, j'ai supposé que par formule de cauchy par rapport aux théorème des résidus tu pensais à "quand on intègre selon un cercle et pas un contour quelconque". mais si tu pense à la formule qui dit que "intégrale de f = 0" sur tout contour fermé ou encore que intégrale de f(z)/(z-a) = 2i.Pi.f(a) sur n'importe quel contour d'indice 1 autour de a. alors oui en effet c'est suffisent... mais personellement je fais pas la différence entre ca et le théorème des résidus. donc si tu préfaire tu peux reprendre tous ce que j'ai dis en remplcant "théorème des résidu" par formule de cauchy, ca ne changera pas grand choses...

[thepasboss]

Et par l'absurde ? P est entière, et si on la suppose non nulle sur C, alors 1/P est entière et bornée sur C, donc constante, d'où la contradiction...

Bon après il est vrai que je passe peut-être à côté de la blague, mais il me semble que pour tout ça le théorème des résidus n'est pas nécessaire.

[invite4ef352d8]

Le théorème de Liouville est aussi une conséquence de la formule de cauchy/théorème des résidu... (enfait ce qu'il est en train de faire ressemble beaucoup à la preuve du th de Liouville )

[Bartolomeo]

ben je suis content d´avoir lancé le débat! J´aimerais déjà maitriser la matière pour participer
Mais là je ne vois plus la forêt tellement il y a d´arbres!

[Bartolomeo]

N´y a t´il pas une solution plus simple?
Par exemple montrer que est un sous ensemble fermé de ?
Est ce possible de montrer avec le théorème de l'application ouverte que s´annule sur ?

pour rappel:

de degré n > 0 n´ait pas de racine dans .

[taladris]

- je vois pas comment tu compte montrer qu'un polynome qui ne s'annule pas à un inverse dévelopable en série entière sans invoquer plus ou moins directement le théorème de Gauss d'Alembert...

Un polynôme est développable en série entière en tout point et 1/z est développable pour z non nul,
donc comme P n'a pas de racine (sic), 1/P est dérivable en série entière. Non?