Théorème des fonctions implicites

[invite78942dcd]

Bonjour,

Voila je bloque sur cet exercice:

Soit U un ouvert non vide de R² et f: U--->R une application ce classe c 1. f peut-elle être injective ?

Il est indiqué de penser au théorème des fonctions implicite, oui mais comment, je n'en ai aucune idée, ça serait agréable de votre part si quelqu'un me dirige.

Merci par avance.
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[thepasboss]

Bonsoir,

Je ne vois pas trop pourquoi il faudrait utiliser le théorème des fonctions implicites en fait. Je met les deux parties du raisonnement sous balises spoil au cas où tu veuille chercher par toi même.

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On suppose par l'absurde que f est injective.
Si on remarque que l'image d'une partie A connexe par arc de U par f est une partie de R connexe par arc (la démonstration est assez rapide et utilise l'injectivité de f), on peut se débrouiller plutôt bien.

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On prend A une boule ouverte incluse dans U. Son image par f est une partie connexe par arc de R, donc un intervalle I, qui est non vide et non réduite à un singleton (par injectivité). On prend x un point intérieur à I, alors il existe un unique point y de A qui vérifie f(y) = x (injectivité toujours), alors A\{y} est encore une partie connexe par arc, et donc f( A\{y} ) = I \ {x} est aussi une partie connexe par arc, donc un intervalle, ce qui est absurde car x est un point intérieur à I.

On a donc que f ne peut être injective.

[invite78942dcd]

J'ai parfaitement compris votre demonstration, et je suis 100% d'accord avec vous, merci.
Mais s'il vous plait, si vous voyez un peu comment la faire en utilisant le TFI je vous en serais trés reconnaissant, car vue que cet exercice figure dans la matiere de calcul differentiel, alors la demonstration doit necessairement y reposer.
Et merci vraiment merci.

[thepasboss]

Hmm et bien comme ça sommairement je dirais qu'il faut montrer qu'il existe un point (x0,y0) de U tel que la dérivée partielle de f par rapport à la deuxième variable ne soit pas nul en ce point (ça doit pas être trop dur en exploitant l'injectivité). Alors on applique le théorème des fonctions implicite ce qui nous fait aboutir à l'existence d'une fonction g continue C1 définit sur un ouvert V de R tel que :

f(z,g(z)) = f(x0,y0) pour tout z dans V. Ce qui amène immédiatement que la fonction ne peut être injective.

Bon il faut reformuler ça plus sympatiquement, parce que j'avoue ne pas avoir fait joujou avec ce théorème depuis quelque temps et que les hypothèses exacte ainsi que leurs conséquences sont devenue floue dans mon esprit (la preuve qu'il faut encore que je travaille)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78942dcd]

Merci, tu m'as vraiment éclairé, Merci beaucoup.