Théorème de Banach

[invite0e188b54]

Bonjour à tous!

Je bloque au début d'un exo sur le théorème de Banach et j'aurai besoin de votre aide.

On cherche à résoudre e^-x = x.

La première question consiste à montrer que f : [e^-1 , 1] --> lR : x --> e^-x satisfait les hypothèses du théorème.

Aucun soucis, on montre bien que f est lipschitzienne et contractante sur l'intervalle [e^-1 , 1] et que [f(e^-1 , f(1)] est inclus dans l'intervalle [e^-1 , 1].

La suite me pose plus de soucis.

Prouver l'existence et l'unicité de la solution s du problème.
Je suppose qu'il faut trouver une unique solution de e^-x - x = 0 sur l'intervalle [e^-1 , 1], mais déjà ici, je bloque.
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[inviteaf1870ed]

f(x)=exp(-x)-x est monotone continue --> TVI d'où la solution unique.

[invite0e188b54]

Olala le boulet, ok merci a toi!

On arrive à ce que je voulais vous demander :

question suivante : proposer une méthode de type point fixe (avec condition initiale x₀) pour calculer numériquement une solution du problème.

il s'agit je pense de x_n+1 = f(x_n)

Il demande ensuite : donner l'expression (symbolique) du nombre maximum d'itérations nécessaires à priori pour obtenir 10 chiffres significatifs (en base 10) de la solution s.

je pense qu'il s'agit d'égaler l'erreur à 10^-10 non?

donc e_n = |x_n - s| = 10^-10 < ou = (L/(1-L)) * |x_n - x_n-1|

D'où e_n < ou = Lⁿ/(1-L) |x₁ - x₀|

[invite392a8924]

Salut ,

tu as raison , il s'agit de trouver une itération f(x(n))=x(n+1),....ça premièrement.

Deuxièmement, pour le nombre d'itérations , tu doit utiliser ce qu'on appelle le test d'arret , et de là tu devais tirer le n .

Merci et bonne chance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e188b54]

Ok merci à vous!