Série avec fonctions de la théorie des nombres

[breukin]

Que sait-on de la série de terme général μ(n)/φ(n) (Möbius/Euler) ?
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[invite2c3ff3cc]

Que sait-on de la série de terme général μ(n)/φ(n) (Möbius/Euler) ?

Plutôt original comme pb

f(n) = μ(n)/φ(n)

On a f(4n) = 0 et f(2n+1) + f(2*(2n+1)) = 0 donc à mon avis la somme existe et vaut 0.

[breukin]

Intéressant mais insuffisant.
La série n'étant pas absolument convergente, on ne peut impunément réordonner les termes à sa guise.

[invite2c3ff3cc]

Intéressant mais insuffisant.
La série n'étant pas absolument convergente, on ne peut impunément réordonner les termes à sa guise.

Mais qui te parle de réordonner, les sommes partielles tu connais ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Tu n'a pas le droit de faire des sommes partielles impunément.

Sommer dans l'ordre 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10... ne donne pas forcément le même résultat que dans l'ordre 1,2;3,6;4;5,10;7,14;8;9,18;11, 22;12;13,26;15,30;...
Sauf si c'est absolument convergent, ce qui n'est pas le cas.
Or en regroupant 2n+1 avec 4n+2, tu réordonnes comme ci-dessus.

Un exemple classique : en réordonnant la suite harmonique alternée, qui tends vers ln 2, tu peux la faire converger vers n'importe quelle valeur réelle.

[breukin]

Exemple illustratif :

S = 1–1 + 1/2–1/2 + 1/3–1/3 + 1/4–1/4 + 1/5–1/5 + ...
S_2n = 0 et S_2n+1 = 1/(n+1)
Donc S est convergente et converge vers 0

S' = 1+1/2–1 + 1/3+1/4–1/2 + 1/5+1/6–1/3 + ...

Eh bien S'_3n = 1/(n+1) + ... + 1/(2n)
Donc S' va converger vers ln 2 sauf erreur.

Je suis bien d'accord, mon problème est original !

[invite2c3ff3cc]

Un exemple classique : en réordonnant la suite harmonique alternée, qui tends vers ln 2, tu peux la faire converger vers n'importe quelle valeur réelle.

Je le sais bien. C'est pas ce qui est fait ici. Quand tu sommes de 1 à n ne restent que les termes impairs k tels que 2k > n.

[invitea07f6506]

@ ThSQ : s'il te plaît, pourrais-tu expliciter ton idée ? Là, je ne vois vraiment pas la différence entre ce que tu souhaites faire et l'exemple de la série harmonique alternée :
* Ou bien tu réarranges les termes (et ça peut foirer lamentablement - comme dans le cas présenté par Breukin) ;
* Ou bien tu écris les sommes partielles (mais alors, si pas mal de termes disparaissent - comme dans le cas présenté par Breukin - mais je vois mal quoi tirer de ceux qui restent).

[invite2c3ff3cc]

Je ne réordonne rien (surtout pas comme l'a rappelé fort justement breukin ça peut faire n'imp'). Je dis juste qu'il suffit de montrer que

[breukin]

OK, ta manière de présenter les choses n'était pas claire du tout, puisqu'elle donnait l'impression que quand tu rencontrais un terme :
- multiple de 4 : il vaut 0
- impair : tu vas charcher plus loin dans la suite son double pour l'annuler
- pair non multiple de 4 : sans objet parce que déjà pris par la règle précédente
Voilà pourquoi je disais que tu n'avais pas le droit de réordonnancer.

Or tu considère la somme partielle jusqu'à 2n, et tu constates que tu peux supprimer :
- tous les multiples de 4,
- tous les nombres pairs non multiples de 4, tout en supprimant tous les impairs inférieurs à n.

OK, reste à montrer que la somme partielle résiduelle sur les nombres impairs supérieurs à n et inférieurs à 2n tend bien vers une limite, ce qui n'a rien d'évident, et que cette limite est nulle, ce qui n'a toujours rien d'évident.

Mon problème est toujours aussi ouvert !

D'ailleurs, si cette série était convergente et sa somme nulle, ce résultat devrait être connu depuis belle lurette et disponible sur des sites comme Wolfram/Eric Weisstein ou autres.