Notion de voisinage dans la formule de Taylor-Young

[Qom]

Bonjour,
Je suis en Psi (2 ème année de classe préa), la notion de voisinage en un point exprimé dans la formule de Taylor-Young m'est encore obscure. Au cours de mes différentes lectures de définition, j'ai remarqué deux façons de l'exprimer :la première avec pour x au voisinage de a, la seconde pour x tendant vers a.
Or avec la première définition, ma réflexion (qui est sûrement fausse ) conclut par le fait que la définition s'applique donc pour tout x dans I car le voisinage est selon moi une notion relative.
Pour conclure, je n'arrive pas à savoir malgré mes recherches si la formule de Taylor-Young est une limite en un point (donc locale) ou valable sur tout x dans I (l'intervalle considéré dans la définition) donc globale.
J'espère avoir été assez clair, merci d'avance d'avoir pris le temps d'essayer de comprendre mon erreur de raisonnement.
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[gg0]

Bonjour.

La formule de Taylor Young, telle qu'exprimée dans ce document, dit bien que l'écriture est valable sur I tout entier. Elle est donnée de façon globale. Cependant, dès qu'on est un peu loin de a, le terme final peut parfaitement être nettement plus grand que tout le reste, ce qui fait que l'utilité de la formule est nulle loin de a.
Par exemple est parfaitement vrai pour tout réel en prenant pour et pour . Ce qui est important, c'est que la fonction ne se contente pas d'être nulle en , elle est presque nulle quand x est proche de .
Alors que est aussi parfaitement vrai pour tout réel en prenant pour et pour ; mais ça n'a aucune utilité !

Après tout, la seule chose qu'on dit sur ce reste est qu'il tend vers 0 plus vite que (x-a)^n quand x tend vers a. Donc c'est bien une propriété locale, dans son utilité.

Cordialement.

[Qom]

Merci pour votre réponse détaillée. J'avance grâce à vous dans mon raisonnement.
Je me demande maintenant quelles sont les différences entre la formule de Taylor Young et la formule de Taylor avec reste intégral mise à part le reste? Pourquoi privilégier une formule par rapport à l'autre ?
Cordialement

[gg0]

Heu ... si je me souviens bien, l'ordre de dérivabilité est différent. Et aussi l'expression du reste peut servir, au moins dans certaines preuves.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Qom]

D'accord je m'attendais à plus
Merci pour vos réponses.
Cordialement