Problème dans la démonstration de la formule de Taylor-Young

[Vishnu]

Bonjour à tous,

Demande préalable, est-ce que quelqu'un connait un logiciel pour écrire des formules mathématiques propres?

Une partie de la démonstration de la formule de Taylor Young dit cela:
Comme f est de classe C^p, on suppose l'égalité de Taylor-Young vérifié tel que:
f'(x)= ... à l'ordre p-1 puis en intégrant tous les termes on arrive à f(x)=... à l'ordre p et on dit que l'hérédité est assuré.

Pour moi dans le passage à l'hérédité, il faut postuler la formule à l'ordre p-1 puis démontrer que cela implique la formule à l'ordre p.
Et dans la démonstration, je n'ai pas l'impression d'avoir postulé la formule à l'ordre p-1 car je l'ai postulé pour f' et pas f. Pour moi, il 'y a pas équivalence entre f=... à l'ordre p-1 et f'=... à l'ordre p-1.

Merci de votre aide par avance
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[Vishnu]

Pour bien me faire comprendre, je vais développer une analogie de ce que j'ai compris de cette démonstration.
On s'intéresse aux suite strictement positive et on cherche à démontrer une propriété les concernant par récurrence.
On suppose que u(n) (suite strictement positive) vérifie cette propriété à l'ordre p. Et on en déduit que v(n) (suite aussi strictement positive n'ayant aucun lien avec u(n)) vérifie la propriété à l'ordre p+1.
On en conclut la propriété est vraie pour toute suite strictement positive.
Mais qui nous dit que toute suite vérifiant la propriété à l'ordre p permet de prouver qu'une autre suite la vérifie à l'ordre p+1.
On ne peut pas se baser sur un cas particulier pour généraliser.

[acx01b]

salut,

tu as regardé :
"Démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace" sur wikipedia/Théorème_de_Taylor#Preuves ?

Parce que cette démonstration (qui utilise uniquement une intégration par partie),
plus le théorème des accroissements finis ça permet d'arriver à la formule de Taylor-Young, non ?

[gg0]

Bonjour Vishnu.

Tu dois faire erreur sur la propriété qu'on démontre par récurrence, oublier un quantificateur. On démontre par récurrence que "pour toute fonction f, si f est Cⁿ elle vérifie la formule de Taylor f(x)= ..."
Et la preuve que tu cites montre l'hérédité pour n>1 (passage de n-1 à n). On peut aussi partir de l'hypothèse à l'ordre n pour regarder ce qui se passe pour une fonction f Cⁿ⁺¹ en utilisant le fait que f est Cⁿ.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Vishnu]

Merci pour vos réponses

J'avais pas du tout pensé à passer par la formule de taylor avec reste intégrale de Laplace mais, en me recassant la tête dessus ce matin une bonne heure, j'ai compris la propriété logique que j'avais pas en tête et qui valide la démonstration.
C'est en fait que l'application primitiver des fonctions de classe C^0 (et à fortiori de classe C^p-1) est une application surjective.
Du coup, tout fonction de classe C^p possède forcément une fonction de classe C^p-1 dont elle est la primitive.
Et ça résout mon problème.

Cordialement

[albanxiii]

Bonjour,

Demande préalable, est-ce que quelqu'un connait un logiciel pour écrire des formules mathématiques propres?

Sur le forum : http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html
Pour écrire des documents, choisissez la distribution de LaTeX qui vous convient, il en existe pour tous les OS et les guides d'installation sont bien faits.

@+