Taylor-young

[invite616a69c2]

Bonjour,

je suis bloquée dans la démonstration de la formule de Taylor-Young.
" Si f est de classe sur I et existe alors pour tout x dans I, où tend vers 0 quand x tend vers a.

pour la démo par récurrence, je met:
je pose
pour n=1, c'est la définition de la dérivabilité
supposons vraie. Soit f dérivable n fois en a alors f' est n-1 fois dérivable en a et on peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence:

on pose qui est définie sur I, dérivable et g(a)=0, on a
.
par définition, on peut écrire soit il existe tel que

et c'est la que je coince, je dois utiliser le théorème des accroissements finis (enfin plutot une inégalité)
sur internet je lis: et je ne sais pas d'où cela sort.

je pensais utiliser une inégalité du théorème des accroissements finis qui dit: s'il existe M tel que pour tout x de ]a,b[ alors .

Ma question est donc, d'où sort ce qu'il y a sur internet et puis je utiliser l'inégalité que j'ai trouvé?

Merci beaucoup de votre aide
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[invite8d54258a]

C'est une conséquence de l'égalité des accroissements finis (qui est elle est une conséquence du théorème de Rolle). Tu sais que si f est continue sur , dérivable sur alors il existe tel que .
Ainsi, et si est continue sur [a,b] (j'ai supposé !), tu peux encore majorer par .

[invite1e1a1a86]

s'il existe M tel que pour tout x de ]a,b[ alors .

les seule différence entre les deux sont
-dans la premiere c'est un x alors que dans la deuxieme c'est un b
-la premiere c'est un sup, la seconde c'est un majorant M quelconque mais passer de l'un a l'autre ne change pas beaucoup
-c'est qu'il manque les valeurs absolues dans la seconde.

Mais l'inégalité des accroissements finis se démontre direct avec des valeurs absolues (et sans valeurs absolues c'est beaucoup moins interressant)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...ssements_finis

est-ce ça qui te gêne?

[invite616a69c2]

ok donc l'inégalité vient du passage aux valeurs absolues et sup par définition du sup et de la continuité sur un intervalle.
Mais puis je simplement utiliser l'inégalité des accroissements finis (avec valeur absolue ) directement, c'est à dire
et comme on a
et donc .
Puisque t est entre a et x, on a
et on obtient la même chose

Merci beaucoup de vos aides.

[A voir en vidéo sur Futura]