Équation différentielle, équation caractéristique pour le cas delta < 0

[Control]

Bonjour,
Dans mes révisions sur les équations différentielles d'ordre deux, pour la résolution de l'équation sans second membre, j'en arrive aux différents cas pour résoudre l'équation caractéristique ; mon problème se situe lorsque delta < 0.

Prenons cette équation caractéristique : a(r^2)+ br + c = 0, avec r l'inconnu.
Je sais qu'il y a deux solutions complexes conjugués : r1 = alpha - iBeta et r2 = alpha + iBeta.

Néanmoins, il est dit que la solution générale de l'équation sans second membre est de la forme y = exp(alpha*t)*[C1*cos(Beta*t)+C2*sin(Beta*t)] avec C1 et C2 des constantes réelles quelconques.

J'ai beau essayé, je ne vois pas comment on arrive à cela. En essayant de mon côté je trouve y = exp(alpha*t)*[C1*cos(Beta*t)+C2*cos(Beta*t)].

Quelqu'un pourrait-il me montrer comment on y arrive, s'il vous plaît ?
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[gg0]

Bonjour.

exp(alpha*t)*[C1*cos(Beta*t)+C2*cos(Beta*t)]=exp(alpha*t)*[C1+C2]*cos(Beta*t)

Il te faut deux solutions réelles indépendantes, tu as pris deux solutions proportionnelles.

Considère les solutions complexes y1=exp(r1*t) et y2=exp(r2*t). Par addition, tu obtiens une solution réelle (puisque ce sont des conjugués), le double de la partie réelle commune. Mais on sait aussi exprimer la partie imaginaire, en calculant y1-y2 et divisant par i. Et ça te donne la deuxième solution réelle, non proportionnelle à l'autre.

Cordialement.

[Control]

Bonjour.

exp(alpha*t)*[C1*cos(Beta*t)+C2*cos(Beta*t)]=exp(alpha*t)*[C1+C2]*cos(Beta*t)

Il te faut deux solutions réelles indépendantes, tu as pris deux solutions proportionnelles.

Considère les solutions complexes y1=exp(r1*t) et y2=exp(r2*t). Par addition, tu obtiens une solution réelle (puisque ce sont des conjugués), le double de la partie réelle commune. Mais on sait aussi exprimer la partie imaginaire, en calculant y1-y2 et divisant par i. Et ça te donne la deuxième solution réelle, non proportionnelle à l'autre.

Cordialement.

Merci beaucoup pour ta réponse rapide.
Il est dit que la solution générale est l'addition y1+y2 donc c'est quoi "l'indice" qui me dit qu'il faut que fasse y1-y2?
Je ne comprends pas..

[gg0]

En fait, je ne sais pas ce que tu as dans ton cours. Et à quel propos "Il est dit que .."
La solution générale est de la forme C1f(x)+C2g(x) où f et g sont deux solutions particulières indépendantes. Si u et v sont des solutions de l'équation différentielle, toute combinaison linéaire de u est v (toute expression de la forme au+bv) est encore une solution. Tu as pris le cas a=1 et b=1, je prends le cas a=1/i et b=-1/i.

C'est très souvent dans les cours sur ces équations différentielles linéaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Control]

Bonjour,

Excuse-moi j'avais vraiment besoin de dormir, quand je reste bloqué sur une chose ça me fruste et je n'arrive plus à faire quoique ce soit.

Alors oui, c'est exactement ça, la solution générale de l'équation sans second membre est de la forme C1f(x)+C2g(x). Maintenant tout comme les cas delta > 0 et delta = 0, on a f(x) =y1= exp(r1*x) et g(x) = y2 = exp(r2*x). Et un simple remplacement de r1 et r2 par leur valeur suffit à donner la solution générale.
Mais lorsque je le fais voici ce que je trouve, pour le cas delta <0 :


Où est mon erreur?

[gg0]

Je vais présenter autrement.

Tu as écrit les fonctions complexes, solutions de l'équation. Mais dans ce cas, C1 et C2 sont des complexes, et ce n'est pas une fonction complexe qu'on veut, mais une solution réelle.

On l'obtient en prenant C1 et C2 conjugué, puisque exp(r1*x) et exp(r2*x) sont déjà des conjugués. Et la somme de deux conjugués ... est un réel.
Donc tu prends C1=K1+iK2, C2=K1-iK2, et tu vois ce que ça donne ... et ça donne la solution que tu attends, à des noms de constantes près.

Cordialement.

[Control]

Je te remercie d'avoir essayer mais je vais laisser tomber et juste admettre que la solution est de cette forme.
Je comprends le fait que la solution doit être un réel et non un complexe, tel que j'ai trouvé, mais je ne vois pas en quoi C1 et C2 serait donc des complexes. Pour moi ce ne sont que des constantes réelles quelconques.
Je n'arrive même pas à voir, alors que ça doit sauter aux yeux, comment tu fais pour savoir que C1=K1+iK2 et idem pour C2.

[gg0]

Tu es en train d'appliquer une méthode à un cas qui ne correspond pas. les fonctions que tu as trouvé ne sont pas des solutions de l'équation différentielle dans les réels. Pourquoi lui appliquer une propriété qui ne concerne que les fonctions réelles. Et tu es quand même gonflé de dire "je ne vois pas en quoi C1 et C2 serait donc des complexes" alors que tu n'as probablement jamais fait de l'analyse sur des nombres complexes. C'est un a-priori bizarre quand tu acceptes bien des fonctions complexes. Pourquoi les unes et pas les autres.

Encore une méthode : Si f et g sont deux fonctions réelles solutions de l'équation différentielle et indépendantes, toutes les solutions sont de la forme C1f(x)+C2g(x). Tu vérifies que exp(alpha*x)* cos(bêta*x) et exp(alpha*x*sin(bêta*x) sont bien des solutions indépendantes de l'équation, et tu conclus.
J'ai essayé de t'expliquer comment on les a trouvées, mais puisque tu résistes, inutile d'y revenir.

[Control]

Oula je vois que tu t'emportes, et ce n'était pas mon intention.
Quand j'ai écrit "je ne vois pas en quoi C1 et C2 serait donc des complexes", je ne remettais pas en doute ce que tu me disais, mais exprimait le fait que malgré l'explication je n'arrivais toujours pas à acquérir la logique que tu essaies de me transmettre, pour comprendre. Je me suis dans doute mal exprimé.

De la forme C1f(x)+C2g(x) dont C1 et C2, je nommerais C1s et C2s pour ma question suivante.
Sur la feuille que j'ai posté, le C1 de ma feuille est-il le même que C1s, ou alors est-ce deux constantes différentes? Même question pour le C2 de ma feuille et C2s.
Pourtant je t'assure que je n'essaie pas de résister, je veux vraiment comprendre

[gg0]

Pourtant c'est très logique : tu résous ton équation différentielle dans le corps des complexes ( r1 et r2 sont des complexes, les fonctions sont complexes, il n'y a aucune raison de refuser que C1 et C2 soient des complexes. par cohérence.

J'ai suffisamment expliqué, donné une méthode alternative, le reste (comprendre) se passe dans ta tête. A toi de décider ce que tu fais, moi, j'ai suffisamment donné.

Cordialement.