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équation differentielle second ordre homogène coef variable et delta variable



  1. #1
    Phil_cotte

    équation differentielle second ordre homogène coef variable et delta variable


    ------

    Bonjour à tous,
    Je me retrouve en ce moment dans la nécessité de résoudre une équation différentielle du second ordre, non homogène, à coefficient non constants. J'étais parti pour écrire
    l'équation homogène qui lui est associée, calculer sa solutions, puis chercher une solution particulière de la version non homogène et additionner les deux.
    J'ai donc commencé par écrire le polynôme caractéristique de la solution homogène :

    x²+bx+c(t)=0 avec c(t)=cst1+cst2*cos(wt)

    Les solutions sont de la forme x=[-b +/- sqrt(delta)] / 2a.

    Mon problème est que dans le delta, j'ai un cos(wt) qui le fait changer périodiquement de signe. Et donc, je passe alternativement de solutions réelles à complexes pour le polynome, et même à un delta=0.

    Dans un tel problème, est-il correct d'étudier la solution générale dans les trois cas différents? Y a-t-il une "continuité" entre ces différents cas, et donc entre les solutions?

    (pour info, c'est un problème physique avec un oscillateur soumis à des frottements, une force d'entretient, et un gradient magnétique (supposé constant dans l'espace) périodique en temps.)

    merci d'avance pour votre soutient!

    -----

  2. #2
    Universus

    Re : équation differentielle second ordre homogène coef variable et delta variable

    Bonjour,

    Sauf erreur, la variable représente ici la « phase » du mouvement. La formule montre qu'il s'agit d'une fonction continue en , l'expression étant elle-même continue en . Ainsi, ; donc les « phases » changent continûment dans le temps.

    Que les « phases » passent de purement réelles à complexes ne me semble pas problématique : cela dénote simplement d'un « changement de régimes » entre des oscillations et des oscillations aux amplitudes amorties/accrues. Les solutions, elles, me semblent bien réelles : il suffit de prendre les bonnes combinaisons des termes (quelque chose de ce genre).

  3. #3
    Phil_cotte

    Re : équation differentielle second ordre homogène coef variable et delta variable

    okay merci!

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