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Equation différentielle avec équation du second degré




  1. #1
    tinou777

    Equation différentielle avec équation du second degré

    Bonjour, je suis en prepa MPSI et j'ai besoin de résoudre une équation differentielle avec un trinome du second dégré pour un problème de physique et je ne sais pas du tout comment faire.
    L'équation s'écrit de la forme suivante :


    Alors si vous pouviez m'aider ça serait cool
    Je précise que je n'ai pour l'instant vu que des équations différentielles de la forme
    que je pouvais résoudre en passant par la formule z (t)= cte + a.cos (Wt) + b.sin (Wt) , W étant la vitesse angulaire.

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    Bonjour.

    Cherche sur le web : équations différentielles linéaires à coefficient constants.

    Facile : si b est non nul, z(t)=c/b est une solution particulière.

    Cordialement.

  4. #3
    Resartus

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    Bonjour
    Etes-vous sûr du terme en z^2?
    Car si oui, c'est loin d'être simple, et pas du tout du niveau MPSI
    Une première étape est de passer à une équation du premier ordre en passant les termes en z du coté droit, puis en multipliant par z'
    On a alors z"z'=z'(c-bz-az²) qu'on peut intégrer en z'²/2=(cz-bz^2/2-az^3/3)+d (d est une constante quelconque) soit z'=racine(2(cz-bz^2/2-az^3/3+d))
    Ce qui est une équation du premier ordre.
    Mais on est encore loin du compte, car il faut maintenant trouver la primitive de cette expression, ce qui est inextricable, sauf valeurs très particulières de a b, c d

    Mais je préfère penser, comme gg0, qu'en fait il faut lire non pas z² mais z', ce qui est beaucoup plus simple, et de votre programme : equation LINEAIRE du second ordre à coefficients constants additionner la solution générale de l'équation homogène et la solution particulière de l'équation avec second membre.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast


  5. #4
    gg0

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    Effectivement, j'ai lu z', pas z².

  6. #5
    tinou777

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    J'ai trouvé cette équation différentielle pour étudier le mouvement de la pointe d'un microscope à force atomique donc soit j'ai faux soit je n'ai pas besoin de calculer l'équation horaire. Merci!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Resartus

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    Bonjour,

    Quand on ne sait pas résoudre explicitement une équation, une méthode consiste à travailler en perturbations...

    Ici par exemple, on peut supposer que le terme en az² reste petit...

    On a donc au premier ordre une équation de type z"+bz=c (équation linéaireà coefficients constants, cette fois) qui va donner des oscillations sinusoidales de pulsation w=1/racine(b)
    Le terme en az² est alors de la forme cos²(wt) soit du cos2wt. On traite ce terme comme un second membre qui impose une oscillation forcée à fréquence double, dont on calcule la réponse, etc..
    En résumé, on aura une somme de termes en wt, 2wt, 4wt, etc, ce qui est une série de fourier. On a donc un régime oscillant à fréquence w mais avec une fonction qui n'est pas rigoureusement sinusoidale.
    Cela peut suffire de savoir cela pour vos besoins, sans avoir besoin de calculer précisément la forme
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  9. #7
    Resartus

    Re : Equation différentielle avec équation du second degré

    Oups, il faut lire w=racine(b), bien sûr..
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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