Équation différentielle de degré 2

[invite06a166f3]

Bonjour, j'aimerais résoudre une équation différentielle mais je n'arrive pas à obtenir un résultat satisfaisant. Cette équation est :

y" + a(y')^2 + by = 0

Où a et b sont des réels.

J'espère qu'il existe une solution assez simple.
Merci d'avance pour votre aide !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est nul, on pose : et on obtient une équation du premier ordre à variables séparables : .

Je suppose donc non nul.

L'équation ne contient pas explicitement la variable .
On m'a appris qu'il faut alors chercher en fonction de .

Petite restriction : pour faire les calculs en fonction de , il faut que soit variable et il faut donc étudier à part les éventuelles solutions constantes.

Ici, pour une solution constante : et seule la solution constante est la solution nulle.

On cherche les autres solutions, non constantes, et on pose pour ce faire : . Alors :



et l'équation devient : .

Il s'agit d'une bête équation de Bernoulli que l'on résout en posant , d'où : et l'on est ramené à résoudre une équation linéaire pour obtenir , puis , et il reste alors à résoudre l'équation à variable séparable qui fournit en fonction de .