Equation différentielle de second degré

[invite1e8ba3d0]

Bonjour à tous,

J'ai une question à vous poser:

Nous avons y" + y = x.sin(x)

Pour résoudre cette équation on doit d'abord retrouver la solution homogène qui est Yh = C₁cos(x)+ C₂Sin(x)

Mais pour la solution particulière, j'ai pris Yp = x ((ax+b) sin(x) + (cx+d) cos(x) )
(+- i est une racine de l'équation caractéristique, et pour le degré des polynômes j'ai pris le degré maximal qui est le degré 1).

A la fin j'ai trouvé que Yp = (1/4) (x*sin(x) - x²cos(x))

Je veux savoir si c'est la bonne formule à utiliser pour retrouver la solution particulière, et si on retrouve le même résultat en utilisant la méthode de la variation de la constante ...

Merci à vous ^^
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[invite57a1e779]

j'ai pris Yp = x ((ax+b) sin(x) + (cx+d) cos(x) ) ...

A la fin j'ai trouvé que Yp = (1/4) (x*sin(x) - x²cos(x))

Il est curieux que, partant d'une forme ne contenant pas de terme en x², il y en ait à la fin...

Je veux savoir si c'est la bonne formule à utiliser pour retrouver la solution particulière, et si on retrouve le même résultat en utilisant la méthode de la variation de la constante

Fort heureusement, toutes les méthodes fournissent le même résultat, à savoir les solutions de l'équation différentielle, il n'y pas de «bonnes» formules, un éventail de techniques plus ou moins adaptées au problème posé : l'art du mathématicien est de savoir choisir l'outil adapté au problème auquel il est confronté.

[invite1e8ba3d0]

Il est curieux que, partant d'une forme ne contenant pas de terme en x², il y en ait à la fin...



Fort heureusement, toutes les méthodes fournissent le même résultat, à savoir les solutions de l'équation différentielle, il n'y pas de «bonnes» formules, un éventail de techniques plus ou moins adaptées au problème posé : l'art du mathématicien est de savoir choisir l'outil adapté au problème auquel il est confronté.

Salut à vous,

J'ai pris Yp = x* ((ax+b) sin(x) + (cx+d) cos(x) ), et donc en introduisant le x à l'intérieur des parenthèses j'obtient:

Yp = ((ax²+bx) sin(x) + (cx²+dx) cos(x) )

Le x² existe bel et bien dans la solution particulière ...

Vous en dites quoi?

[stefjm]

Oui, vous avez la bonne solution.
Perso, j'ai résolu par la méthode de Laplace car très systématique.
sin x se transforme en
f(x)*x se transforme en
d'où l'équation en Laplace


D'où Y puis en remontant à l'original y(x).



Avec cette méthode, plus de problème de recherche de solutions particulières : Elle tombe toute seule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

En fonction des conditions initiale :


y' se transforme en p.Y(p)-y(0).

Pour trouver l'original de , on peut utiliser deux fois la règle de multiplication par x.
La seconde fois, on se retrouve avec un 1/p qui correspond à une intégration coté x.
Le plus délicat reste à integrer x.sin(x), ce qui se fait par partie.