Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

[invite6d4c9ef6]

Bonjour à vous, j'ai actuellement un devoir concernant les équations différentielles,
mais l'une d'entre elles me pose carrément problème !

Je me rappelle pourtant très bien en avoir fait en cours avant les vacances, mais le problème est que je ne retrouve pas les feuilles sur lesquelles nous les avions faites.

j'ai cherché sur internet la méthode, pas moyen.
il me semble qu'on rajoutais une fonction ou quelque chose du genre mais c'est vague ...

je vous la pose, pourriez vous m'aider SVP ?


=> my"-(1+m²)y'+my=x(expx)

je ne me rappelle plus comment on la résoud, et ça commence sérieusement à me prendre la tête ...
merci à la bonne âme qui me sauvera
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[Bruno]

La solution est la somme de y_H et et y_P avec :

- y_H : solution générale de l'EDL homogène (=0)

- y_P : une solution particulière, càd n'importe quelle fonction qui satisfait l'EDL non-homogène

[invite63e767fa]

Premièrement, résoudre l'équation homogène : mY"-(1+m²)Y'+mY=0
Pour cela, poser Y(x)= exp(r*x) et déterminer les valeurs de r.
Deuxièmement, trouver une solution particulière de l'équation complète. On l'ajoutera à Y(x) pour obtenir y(x).
Dans le cas présent, on peut chercher une solution particulière de la forme (a*x+b)*exp(x)

[Bruno]

Il ne faut pas oublier de multiplier (Ax+B)e^x par x^µ dans le cas où 1 est racine (de multiplicité µ) du polynôme caractéristique mr²-(1+m²)r+m.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6d4c9ef6]

merci pour vos réponse.

mais en fait le problème c'est que m est variable, si je met y(x)=expx

il y a toujours deux variables différentes : m et x

=S

je vois vraiment pas là y a un truc qui m'échappe,

sinon ce ne serait pas y(x) = exp m ou y(m) = exp m qu'il faudrait que je mette ?

[invite57a1e779]

mais en fait le problème c'est que m est variable

Que veux-tu dire par là ?
Que m est fonction de x ? ou que m est un paramètre, c'est-à-dire un coefficient fixé, mais dont tu ne connais pas la valeur ?

[invite6d4c9ef6]

désolé du double post, mais je peux pas éditer, apparemment on ne le peut après 5 minutes ...



Excusez moi j'avais fait une erreur dans le calcul, j'ai refait et je retombe bien sur le polynôme voulut, je vais chercher ses racines et donc tenter de le terminer


Merci beaucoup à vous !!!!


god's breath = non en fait je comprenais pas je sais pas j'ai à moitié buggué dessus en fait =/ , c'était le fait que m soit variable, donc non définit qui m’embêtait, ça peut paraître un peu bête mais bon ... ^^* mais maintenant je me rappelle de la suite avec le polynôme du second degré avec ses racines qui donnent "m"


merci beaucoup à vous en tout cas

[invite6d4c9ef6]

mmh en fait ça va toujours pas =/, ça commence a devenir frustrant ...



je vous explique là où j'en arrive pour le moment :

je calcule mr²-(1+m²)r+m =0

DELTA = m^4-2m²+1

on pose M=m² => M²-2M+1

je calcule le delta de ce polynôme : DELTAm = 0
M=2/2 = 1

m=1 ou m=-1

pour m=1

DELTAr = 1^4 -2*1²+1
= 1-2+1
= 0

pour m= -1

DELTAr = 0

D'où DELTAr=0

pour m=1 => r1= -(1+1²)/(2*1)=1
pour m=-1 => r2= -(1+(-1)²)/(-1*2)= -1


Mais je vois pas quoi faire avec cela ... U_U je suis complètement pommé là.

je continue avec y(x) = exp(r*x) ? en remplaçant les r que j'ai trouvé ? (1 et -1) ? je ne pense pas =S
Je suis vraiment perdu là ; J'ai beau feuilleter mes cours, je trouve pas le cas correspondant
SVP

[invite57a1e779]

Il faut synthétiser la discussion pour y voir clair.

L'équation a pour discriminant : .

Cas 1 : .

L'équation a deux racines distinctes : et .

Les solutions de l'équation différentielle sont combinaisons linéaires de et .


Cas 2 : .

L'équation a une racine double : .

Les solutions de l'équation différentielle sont combinaisons linéaires de et .


Il reste à déterminer une solution particulière de l'équation avec second membre.

[invite6d4c9ef6]

j'ai pas eu le temps de te remercier depuis, donc je le fais maintenant :

Merci beaucoup de m'avoir accordé de ton temps !!