Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables
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Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables



  1. #1
    invite6d4c9ef6

    Exclamation Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables


    ------

    Bonjour à vous, j'ai actuellement un devoir concernant les équations différentielles,
    mais l'une d'entre elles me pose carrément problème !

    Je me rappelle pourtant très bien en avoir fait en cours avant les vacances, mais le problème est que je ne retrouve pas les feuilles sur lesquelles nous les avions faites.

    j'ai cherché sur internet la méthode, pas moyen.
    il me semble qu'on rajoutais une fonction ou quelque chose du genre mais c'est vague ...

    je vous la pose, pourriez vous m'aider SVP ?


    => my"-(1+m²)y'+my=x(expx)

    je ne me rappelle plus comment on la résoud, et ça commence sérieusement à me prendre la tête ...
    merci à la bonne âme qui me sauvera

    -----

  2. #2
    Bruno

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    La solution est la somme de y_H et et y_P avec :

    - y_H : solution générale de l'EDL homogène (=0)

    - y_P : une solution particulière, càd n'importe quelle fonction qui satisfait l'EDL non-homogène

  3. #3
    invite06622527

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    Premièrement, résoudre l'équation homogène : mY"-(1+m²)Y'+mY=0
    Pour cela, poser Y(x)= exp(r*x) et déterminer les valeurs de r.
    Deuxièmement, trouver une solution particulière de l'équation complète. On l'ajoutera à Y(x) pour obtenir y(x).
    Dans le cas présent, on peut chercher une solution particulière de la forme (a*x+b)*exp(x)

  4. #4
    Bruno

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    Il ne faut pas oublier de multiplier (Ax+B)ex par xµ dans le cas où 1 est racine (de multiplicité µ) du polynôme caractéristique mr2-(1+m2)r+m.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite6d4c9ef6

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    merci pour vos réponse.

    mais en fait le problème c'est que m est variable, si je met y(x)=expx

    il y a toujours deux variables différentes : m et x

    =S

    je vois vraiment pas là y a un truc qui m'échappe,

    sinon ce ne serait pas y(x) = exp m ou y(m) = exp m qu'il faudrait que je mette ?

  7. #6
    God's Breath

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    Citation Envoyé par Vrael Voir le message
    mais en fait le problème c'est que m est variable
    Que veux-tu dire par là ?
    Que m est fonction de x ? ou que m est un paramètre, c'est-à-dire un coefficient fixé, mais dont tu ne connais pas la valeur ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    invite6d4c9ef6

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    désolé du double post, mais je peux pas éditer, apparemment on ne le peut après 5 minutes ...



    Excusez moi j'avais fait une erreur dans le calcul, j'ai refait et je retombe bien sur le polynôme voulut, je vais chercher ses racines et donc tenter de le terminer


    Merci beaucoup à vous !!!!


    god's breath = non en fait je comprenais pas je sais pas j'ai à moitié buggué dessus en fait =/ , c'était le fait que m soit variable, donc non définit qui m’embêtait, ça peut paraître un peu bête mais bon ... ^^* mais maintenant je me rappelle de la suite avec le polynôme du second degré avec ses racines qui donnent "m"


    merci beaucoup à vous en tout cas

  9. #8
    invite6d4c9ef6

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    mmh en fait ça va toujours pas =/, ça commence a devenir frustrant ...



    je vous explique là où j'en arrive pour le moment :

    je calcule mr²-(1+m²)r+m =0

    DELTA = m^4-2m²+1

    on pose M=m² => M²-2M+1

    je calcule le delta de ce polynôme : DELTAm = 0
    M=2/2 = 1

    m=1 ou m=-1

    pour m=1

    DELTAr = 1^4 -2*1²+1
    = 1-2+1
    = 0

    pour m= -1

    DELTAr = 0

    D'où DELTAr=0

    pour m=1 => r1= -(1+1²)/(2*1)=1
    pour m=-1 => r2= -(1+(-1)²)/(-1*2)= -1


    Mais je vois pas quoi faire avec cela ... U_U je suis complètement pommé là.

    je continue avec y(x) = exp(r*x) ? en remplaçant les r que j'ai trouvé ? (1 et -1) ? je ne pense pas =S
    Je suis vraiment perdu là ; J'ai beau feuilleter mes cours, je trouve pas le cas correspondant
    SVP

  10. #9
    God's Breath

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    Il faut synthétiser la discussion pour y voir clair.

    L'équation a pour discriminant : .

    Cas 1 : .

    L'équation a deux racines distinctes : et .

    Les solutions de l'équation différentielle sont combinaisons linéaires de et .


    Cas 2 : .

    L'équation a une racine double : .

    Les solutions de l'équation différentielle sont combinaisons linéaires de et .


    Il reste à déterminer une solution particulière de l'équation avec second membre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    invite6d4c9ef6

    Re : Equation différentielle linéaire du second degré, avec coefficients vairables

    j'ai pas eu le temps de te remercier depuis, donc je le fais maintenant :

    Merci beaucoup de m'avoir accordé de ton temps !!

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