Exposant imaginaire, comment calculer 2^i

[plaplat]

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrais m'expliquer comment calculer à la main ?

Avec un peut de logique j'arrive à calculer avec


Merci pour l’intérêt que vous portez à ma question.
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[jacknicklaus]

Une approche naïve est de dire que 2ⁱ = e^i.ln(2) ce qui donne le complexe cos(ln(2)) + i sin(ln(2))
Mais non.
un peu de lecture pour voir pourquoi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

[plaplat]

Ha merci Jacknicklaus pour ta contribution ma question est en faite plus fondamental.

Je me suis trompé dans ce que j'ai dis au départ. En réalité je ne sais même pas calculer je dois donc oublier 2^i pour l'instant. clipedia me l'a expliquer comme toi en passant par ln et e...

Je vais essayer de reformuler ma question... mais je n'y arrive pas...

Je crois que je voudrai comprendre comment on invente les nombre imaginaire. Et retrouver l'identité d'Euler.

Tout ça pour comprendre l'opérateur mathématique exposant. c'est facile, il suffit de suivre la règle de la puissance mais des que je passe dans les réelle pour n je bug même si je sais que c'est un truc qui tourne et que je dois utiliser Z1*Z2=Zx c'est comme si d'un coup toute les combinaison était possible... J'ai beau savoir que je dois utiliser un cercle je ne le comprend pas...

Je suis trop confus... Je suis désolé de monopoliser votre temps ...

PS: Je connais une autre approche naïve : google

[gg0]

Bonjour.

Tu peux trouver pas mal de réponses en ligne : "histoire des nombres complexes", pour savoir comment on a inventé les nombres complexes (et donc les "imaginaires"), "calcul des puissances" pour comprendre les règles qu'on utilise, et aussi apprendre pas mal de maths de niveau lycée et au dessus pour comprendre pourquoi on a choisi ces définitions faute d'autre possibilité utile.

Mais dans un premier temps, il te faut apprendre à écrire les calculs correctement : ne pose aucun problème de calcul, puisque par application des règles de priorité des opérations, cette expression se calcule en calculant , puis changement de signe (le -). Le problème se pose en fait pour , qui n'a de sens élémentaire que pour x entier, et auquel on peut appliquer quelques conventions de calcul pour certains nombres (fractions de dénominateur entier impair) en perdant la plupart des propriétés de calcul habituelles, ce qui fait que c'est sans grand intérêt.
C'est encore pire pour des exposants complexes, et pour le comprendre, il vaut mieux avoir fait des études mathématiques bac+1.

Je ne saurais trop te conseiller d'apprendre dans l'ordre les notions, sans chercher à obtenir à tout prix des significations sur des écritures. Les écritures mathématiques sont faites pour traiter des problèmes, et en simplifier les traitement.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Une approche naïve est de dire que 2ⁱ = e^i.ln(2) ce qui donne le complexe cos(ln(2)) + i sin(ln(2))
Mais non.
un peu de lecture pour voir pourquoi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

C'est ce que donne Alpha en précisant un peu mieux que google.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5Ei

[gg0]

Oui,

attention, WolframAlpha fait du calcul formel, sans s'occuper de la signification des expressions écrites (l'inverse de 2/0 est 0/2 !!). Et pour l'utiliser, il faut connaître les règles utilisées par ses programmeurs, sous peine d'avoir des surprises.

Cordialement.

[Opabinia]

Bonjour,

Tu disposes pourtant de tous les éléments pour répondre, sachant de plus que

[Exp(a)]^b = Exp(ab) .

[gg0]

Attention, Opabinia,

cette formule n'est pas valable en dehors des cas où elle a été démontrée, en particulier elle n'est compatible avec les règles classiques si a ou b est complexe, sauf cas particulier. Elle va bien pour a et b réels.

Cordialement.

[jacknicklaus]

@Opabinia : Oui, mais non, en fait.

voir message #2.

[Opabinia]

J'ai effectivement présenté comme allant de soi une formule dérivant de la définition du cas le plus général de A^b.

Y a-t-il des couples (a, b) pour lesquels l'égalité [Exp(a)]^b = Exp(ab) est mise en défaut ?

[Opabinia]

Effectivement, un exposant réel pose des problèmes:

1^x = [Exp(i.2π)]^x = Exp(i.2πx) = Cos(2πx) + Sin(2πx)) .

J'aurais dû songer aux racines N-ièmes de l'unité (x = 1/N).

[gg0]

Voilà !

Tu as trouvé pourquoi on ne peut pas à la fois conserver la formule et continuer à appliquer les règles de calcul habituelles des puissances.
On peut définir des puissances entières de complexes, mais déjà la définition de la puissance 1/2 d'un complexe pose problème : Pour les réels positifs, il y a une convention sur le choix de la racine carrée, on la prend positive. Ce qui n'a plus de sens pour les complexes, il n'existe pas de relation d'ordre compatible avec les opérations, donc pas de bon "ensemble des positifs".
On peut définir des puissances complexes de réels strictement positifs, avec l'utilisation de l'exponentielle, mais ça s'arrête là.

Et ces deux généralisations des puissances n'ont comme domaine commun que les puissances de réels, qu'on connaît déjà.

Cordialement.