Fonction régulière monotone sur tout sous intervalle

**epiKx** · 09/07/2020, 05h57

Bonjour à tous,

Une fonction suffisamment régulière (volontairement ambigu) et monotone sur chaque sous-intervalle de R est elle constante ?
Merci d'avance de vos réponses.

invite9dc7b526 · 09/07/2020, 07h59

non mais elle doit être globalement monotone.

**epiKx** · 09/07/2020, 08h08

Ok merci pour votre réponse

**epiKx** · 09/07/2020, 08h17

Non je me suis trompé excusez moi

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**gg0** · 09/07/2020, 13h54

Bonjour.

La fonction x -->x est-elle "suffisamment régulière" ?

Cordialement.

**epiKx** · 10/07/2020, 13h49

Oui. Je me suis trompé de question en fait.
Une fonction suffisamment régulière et non strictement monotone sur aucun sous intervalle de R est elle constante?
Et merci pour vos réponses.
P. S: oui, l'identité est suffisamment régulière

**Médiat** · 10/07/2020, 14h16

En fonction de la signification de "suffisament régulière" la réponse sera oui ou non.

**slivoc** · 10/07/2020, 14h25

Si elle est C1, sans doute : si une fonction dérivable n'est jamais strictement monotone sur un intervalle non réduit à un singleton, alors sa dérivée est partout nulle (si elle ne l'était pas, par continuité, elle serait de signe constant sur un intervalle ouvert, et donc monotone sur cet intervalle), par le th. de Rolle, elle est donc constante (si l'ensemble de définition est connexe).

**epiKx** · 10/07/2020, 14h31

Merci infiniment. Quid de continu ? Dérivable ?

**0577** · 10/07/2020, 14h44

Bonjour,

il existe des fonctions continues non-constantes non-strictement monotones sur tout intervalle non-vide non-réduit à un singleton (relativement facile).

il existe des fonctions dérivables non-constantes non-strictement monotones sur tout intervalle non-vide non-réduit à un singleton (plus difficile).

**epiKx** · 10/07/2020, 14h53

Merci, ces fonctions sont elles constructibles ?

**epiKx** · 10/07/2020, 14h54

En tout cas merci pour ces précisions

**epiKx** · 10/07/2020, 15h04

Je vais chercher de mon côté

**slivoc** · 11/07/2020, 14h51

Par exemple les fonctions de Weierstrass, pour l'exemple "continue" de 0577 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Weierstrass. Y'a même un théorème de densité des fonctions continues nulle part dérivables sur un intervalle [a,b] pour la norme uniforme (c'est un développement d'agreg).

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