Fonction régulière monotone sur tout sous intervalle

**epiKx** · 09/07/2020, 04h57

Bonjour à tous,

Une fonction suffisamment régulière (volontairement ambigu) et monotone sur chaque sous-intervalle de R est elle constante ?
Merci d'avance de vos réponses.

invite9dc7b526 · 09/07/2020, 06h59

non mais elle doit être globalement monotone.

**epiKx** · 09/07/2020, 07h08

Ok merci pour votre réponse

**epiKx** · 09/07/2020, 07h17

Non je me suis trompé excusez moi

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**gg0** · 09/07/2020, 12h54

Bonjour.

La fonction x -->x est-elle "suffisamment régulière" ?

Cordialement.

**epiKx** · 10/07/2020, 12h49

Oui. Je me suis trompé de question en fait.
Une fonction suffisamment régulière et non strictement monotone sur aucun sous intervalle de R est elle constante?
Et merci pour vos réponses.
P. S: oui, l'identité est suffisamment régulière

**Médiat** · 10/07/2020, 13h16

En fonction de la signification de "suffisament régulière" la réponse sera oui ou non.

**slivoc** · 10/07/2020, 13h25

Si elle est C1, sans doute : si une fonction dérivable n'est jamais strictement monotone sur un intervalle non réduit à un singleton, alors sa dérivée est partout nulle (si elle ne l'était pas, par continuité, elle serait de signe constant sur un intervalle ouvert, et donc monotone sur cet intervalle), par le th. de Rolle, elle est donc constante (si l'ensemble de définition est connexe).

**epiKx** · 10/07/2020, 13h31

Merci infiniment. Quid de continu ? Dérivable ?

**0577** · 10/07/2020, 13h44

Bonjour,

il existe des fonctions continues non-constantes non-strictement monotones sur tout intervalle non-vide non-réduit à un singleton (relativement facile).

il existe des fonctions dérivables non-constantes non-strictement monotones sur tout intervalle non-vide non-réduit à un singleton (plus difficile).

**epiKx** · 10/07/2020, 13h53

Merci, ces fonctions sont elles constructibles ?

**epiKx** · 10/07/2020, 13h54

En tout cas merci pour ces précisions

**epiKx** · 10/07/2020, 14h04

Je vais chercher de mon côté

**slivoc** · 11/07/2020, 13h51

Par exemple les fonctions de Weierstrass, pour l'exemple "continue" de 0577 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Weierstrass. Y'a même un théorème de densité des fonctions continues nulle part dérivables sur un intervalle [a,b] pour la norme uniforme (c'est un développement d'agreg).

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