Minimiser x exposant x dans R0+ et calculer i exposant i dans C

[choom]

Bonjour,
quelqu'un peut-il m'aider à retrouver ma jeunesse au travers de 2 calculs que je me souviens
avoir effectué à 17 ans ( il y a 42 ans..) pour épater mon prof de math.

1) je me souviens avoir dérivé la fonction x puissance x sur les réels strictement positifs,
pour, en voyant quelle valeur annulait sa dérivée , trouver la valeur de x qui minimise cette fonction. Je me souviens l'avoir trouvé quelque part entre 0 et 1 ( logique car je me souviens aussi que la fonction pour x se rapprochant de 0 remontait et avait une limite égale à 1 ). Mais je n'ai plus aucune idée comment refaire ce type de calcul.

2) pareil dans les nombres complexes : j'avais appliqué je ne sais plus quel principe pour calculer la valeur
de i exposant i. Et d'après d'après mes souvenirs le résultat était très étonnant, à savoir un nombre dont la partie imaginaire était nulle : un pur réel qui, de plus, utilisait les autres valeurs remarquables que sont e et Pi.
Quelque chose comme e exposant -Pi/2 ce qui ne manque pas de sel pour le plus pur imaginaire mis en puissance avec lui même.

Quelqu'un qui n'a pas, comme moi, égaré ses cours de jeunesse pourrait-il me rappeler comment on fait ?
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[invitedf3b174e]

Bonjour

Je ne sais pas, chercher dans vous souvenir en remplaçant la fonction « x puissance x » par la fonction « Exp (x ln(x)) »

[invite75a796c1]

Salut,

la dérivée . Pour l'annuler , annulez le 1er facteur avec

Pour , la forme équivalente est assez connue mais ce n'est peut être pas ce dont vous parlez.
Partons de l'équation
, donc ça revient à résoudre , solution . En le reportant dans la 1ere égalité, i passe au carré, k change de signe c'est sans importance et on retrouve le résultat général

[choom]

Un grand merci. Mike.P : vos réponses me sont claires et correspondent à mes souvenirs perdus.

[A voir en vidéo sur Futura]