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Le n-ieme chiffre.



  1. #1
    deyni

    Le n-ieme chiffre.


    ------

    Bonjour.

    Voici la question:

    Dans la suite de chiffres 122333444455555..., chaque entier est écrit autant de fois que sa valeur.

    Quel est le 2001ème chiffre?
    Voir la réponse


    Et sa réponse:

     Cliquez pour afficher


    Mais je ne la comprend pas quelqu'un peu m'explique s'il vous plait?

    Merci.

    -----
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

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  3. #2
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Ce n'est pas la suite des chiffres mais la suite des nombres.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  4. #3
    Amanuensis

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par JPL Voir le message
    Ce n'est pas la suite des chiffres mais la suite des nombres.


    Pour demander le 2001e chiffre, on est bien obligé de parler de chiffres, et de suite de chiffres, non?

  5. #4
    Amanuensis

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par deyni Voir le message
    Mais je ne la comprend pas quelqu'un peu m'explique s'il vous plait?
    Difficile à première vue de faire plus clair que la réponse !

    Pourriez-vous préciser à quel endroit vous avez une difficulté ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    deyni

    Re : Le n-ieme chiffre.

    C'est ça que je ne comprends pas:

    Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres. Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres. Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
    N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)] = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
    Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.

    Merci.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

  8. #6
    Amanuensis

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Décomposons...

    Citation Envoyé par deyni Voir le message
    Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.
    Cela ne devrait pas être un problème...

    Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres.
    C'est ce que dit l'énoncé. Pour n=35, 70 chiffres vont apparaître dans la suite, pour n=63, 126 chiffres, etc. 2n chiffres pour le nombre n.

    Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
    N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)]
    Problème ?

    = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
    On applique la formule générale somme(de 1 à n)= n(n+1)/2. D'où somme(de 1 à 9)=45.

    Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.
    Les 45 rajoutés sont les chiffres de la suite pour les nombres de 1 à 9.

    S'il reste une difficulté, où est-celle plus précisément ?

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  10. #7
    deyni

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Décomposons...

    Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.
    Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.
    petite erreur
    Dernière modification par deyni ; 08/06/2011 à 22h02.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

  11. #8
    deyni

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Décomposons...

    Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres.
    Cela ne devrait pas être un problème... .
    Aucun.

    Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres.
    C'est ce que dit l'énoncé. Pour n=35, 70 chiffres vont apparaître dans la suite, pour n=63, 126 chiffres, etc. 2n chiffres pour le nombre n.
    je ne comprends pas cela:"séquence correspondant " et "n"


    Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
    N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)]
    Problème?
    Oui, avec le "N" et la formule.

    = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
    On applique la formule générale somme(de 1 à n)= n(n+1)/2. D'où somme(de 1 à 9)=45
    ok.Suite arithmétique

    Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.
    Les 45 rajoutés sont les chiffres de la suite pour les nombres de 1 à 9.
    Pourquoi ils ont rajoutés les 45, et comment?

    Merci beaucoup, et désoler pour le dérangement.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

  12. #9
    lawliet yagami

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par deyni Voir le message
    je ne comprends pas cela:"séquence correspondant " et "n"
    la séquence correspondant au nombre n est la répétition de ce nombre n fois
    pour 11 c'est
    1111111111111111111111
    pour 12
    121212121212121212121212

    le nombre n est recopié n fois et il est composé de 2 chiffres donc le total de chiffres de la séquence correspondant à un nombre n est 2n
    Citation Envoyé par deyni Voir le message
    Oui, avec le "N" et la formule.
    le N c'est le nombre de chiffre depuis n>10 pour la série jusqu'au nombre n exemple:
    pour n=12
    la séquence qui nous intéresse est
    111111111111111111111112121212 1212121212121212 donc N=46
    et pour n=13
    la séquence qui nous intéresse est
    111111111111111111111112121212 121212121212121213131313131313 131313131313
    N=72
    pour essayer d'expliquer la formule

    pour n<10 c'est simple de calculer car tu ne possèdes qu'un chiffre mais comment faire lorsqu'il n'y a que des nombres à 2 chiffres... c'est la même chose mais tu dois multiplier par 2:
    si tu prends mon exemple juste au dessus tu comprends que comme tu as le nombre 11 qui se répète 11 fois + le nombre 12 qui se répète 12 fois + le nombre 13 qui se répète 13 fois tu obtiens 36(11+12+13) * 2(car les nombres ont 2 chiffres)
    sinon tu peux aussi le démontrer par récurrence: tu montres que c'est vrai pour 10 et 11 et que si çà marche pour alors çà marche aussi pour

    Citation Envoyé par deyni Voir le message
    Pourquoi ils ont rajoutés les 45, et comment?
    si tu regardes la formule plus haut elle commence à 10(on effet on a calculer le nombre de chiffre de N pas de la séquence complète) donc pour avoir le nombres de chiffres total il faut additionner ceux entre 1 et 9 soit 45 chiffres
    Dernière modification par lawliet yagami ; 08/06/2011 à 23h46.

  13. #10
    Xoxopixo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Bonjour,

    Il y a plus simple, il suffit de demander à Pascal.

    Code:
    function Solution(h: integer): string;
    var
      s     : string;
      n,d,k : integer;
    begin
      s:='';
      n:=1;
      d:=0;
      while d<=h do
        begin
          for k:=1 to n do
            begin
              s:=s+inttostr(n);
            end;
           n:=n+1;
           d:=length(s);
        end;
      Solution:=copy(s, 2001, 1);
    end;
    Solution(2001) donne le résultat '5'

  14. #11
    deyni

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Ok, merci.
    J'ai compris!!

    Merci pour la solution informatique.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

  15. #12
    Naheulf

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Après si il y a encore des septique il y a une solution beaucoup plus facile à comprendre : écrire/taper la série à la main 122333444455555666666777777788 888888999999999101010101010101 010101111111111111111111111121 212121212121212121212131313131 31313131313131313etc...(déjà les 138 premiers chiffres)

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  17. #13
    danyvio

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par Naheulf Voir le message
    Après si il y a encore des septique
    Comme la fosse ? Je suis sceptique
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  18. #14
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Vieux problème qui refait surface, petit problème sympathique à résoudre pour un élève de terminale "S" option math !

    Pour connaître le 2001ème chiffre du nombre, appelons-le Dn, je pense qu'il faut d'abord savoir calculer le nombre de chiffre de Dn :

    Soit le nombre "n". On se propose de construire un entier "Dn" sur le principe suivant : 122333444455555...(n fois "n" côte à côte).

    Connaissant "n", quelle est la formule donnant le nombre de chiffre de Dn ?

    Il existe bel et bien une formule générale donnant ce nombre de chiffre...

    Cordialement

  19. #15
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Pour savoir si votre formule est générale, calculez le nombre de chiffre de Dn pour n = 25439 !

  20. #16
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Par exemple pour n = 25439, Dn est constitué de 1.567.420.905 chiffres...

  21. #17
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Alors ! Personne pour s'amuser à trouver la formule générale (quelque soit "n") ?

  22. #18
    mike.p

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Citation Envoyé par f6eyo Voir le message
    Par exemple pour n = 25439, Dn est constitué de 1.567.420.905 chiffres...
    Salut,

    je trouve plutôt 1,567,409,794 . C'est très proche, l'un d'entre nous doit se planter lors des changements de tailles des nombres

    Il y a une formule mais elle n'est pas très pratique, elle consiste à utiliser la somme de n Partie_Entiere_de(Log_10(n)+1) de 1 à k

    Quelle est votre solution ?
    quand on ne sait pas, il faut demander

  23. Publicité
  24. #19
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Calculer combien "n" a de chiffres en base 10: c'est p = [ln n/ln 10]+1

    2Sn = p.n.(n+1) + 10^p/9 - 100^p/99 – 10/99

    Avec n= 25439 et p=5

    Sn = pn(n+1)/2 + 10^p/18 - 100^p/198 - 5/99 = 1.567.420.905


    Cordialement

    f6eyo
    Dernière modification par f6eyo ; 13/07/2016 à 23h00.

  25. #20
    mike.p

    Re : Le n-ieme chiffre.

    oui !

    exact , c'est moi qui m'étais planté ...

    serait ce la formule ? il faut quand même l'adapter selon l'ordre de grandeur de n, non ?
    quand on ne sait pas, il faut demander

  26. #21
    f6eyo

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Bonsoir,

    La formule générale est : Sn = [(ln n/ln 10)+1].n.(n+1)/2 + (10^[ (ln n/ln 10)+1])/18 - (100^[ (ln n/ln 10)+1])/198 – 5/99

    Cordialement

  27. #22
    mike.p

    Re : Le n-ieme chiffre.

    Bonjour ,
    Citation Envoyé par f6eyo Voir le message
    Bonsoir,

    La formule générale est : Sn = [(ln n/ln 10)+1].n.(n+1)/2 + (10^[ (ln n/ln 10)+1])/18 - (100^[ (ln n/ln 10)+1])/198 – 5/99

    Cordialement
    joli ...

    mais j'ai un petit écart avec 9 chiffres

    dans l'ordre, force brute, itération sur les différences des sommes de 1 à n par ordre de grandeur et Formule de F6eyo
    Code:
    n = 10500309
    FB : 390520953433665
    DF : 390520953433665
    F6 : 390520953433665
    
    n = 105004309
    FB : 44566067563621410
    DF : 44566067563621410
    F6 : 44566067566123560
    quand on ne sait pas, il faut demander

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