Étrange identité

[theophrastusbombastus]

Bonjour, Bonsoir à tous
C'est une égalité "bizarre" à laquelle je suis confronté. Pour mettre un peu de contexte c'est dans le cas d'un écoulement turbulent en mécanique des fluides avec la décomposition de Reynolds, on décompose le flux en une valeur moyenne et des fluctuations... Bref, et donc dans un article posant les bases des modèles dont j'ai besoin, je suis tombé sur plusieurs égalité provenant d'une même identité semblant exprimer que pour une fonction nous aurions :



Je n'arrive pas a redémontrer cette relation, j'ai envie d'imaginer qu'il y a du Stokes, du produit extérieur et du Fubini la dessous mais ca outrepasse mes compétences de physiciens... pour changer j'aurais besoin des lumières de mathématiciens qui traineraient dans le coin.
Il est possible que les parenthèses soient mal placées, qu'il s'agisse d'une intégrale double et non pas d’intégrales imbriquées... il s'agit d'un vieille article, la typographie n'est pas top et le sens physique derrière pose énormément d’hypothèses il est donc difficile de s'y retrouver pour intuiter et remonter à la démonstration.
Alors voila, si quelqu'un à déjà vu une égalité du genre ou une piste de démonstration je suis preneur

En vous remerciant par avance du temps (et de l'indulgence) que vous m'accorderez !
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[minushabens]

je pense qu'il faut écrire que 1/2*r^2 est l'intégrale de 0 à r de s (s une variable muette), donc le membre de droite est une intégrale double.

[azizovsky]

La démonstration passe par la différentiation sous le signe somme ou l'intégrale paramétrique: https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3...am%C3%A9trique



Si et ne dépendent pas de , on'a

[azizovsky]

Et comma a dit minushabens (intégrale double), il faut utiliser :
Bonne journée .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

En détaillant :





(Fubini)







(dérivation sous une intégrale)

[theophrastusbombastus]

Alors déjà a tous un immense merci ! Pour la rapidité et la précision des réponses, je suis gêné que vous m'ayez autant aidé meme...
Déjà Azizovsky, pour l'indication sur les dérivées d’intégrales, c'est exactement le sujet que je cherchais !
Minushabens pour l'intuitions de la réécriture de l'indice muet qui m'a permis de mieux saisir la suite des explications
et enfin Tryss2, pour l'aide détaillé... je n'osais vraiment pas en demander autant, surtout que sans vous je me serais gouré dans le changement d’intégrale sur les bornes entre R et r
Vous avez totalement débloqué mon problème, j’espère pouvoir vous rendre la pareille à l'occasion !
Bien à vous

[minushabens]

pour ma part je n'ai aucun mérite, parce que c'est une astuce classique en probas. Si on veut calculer l'espérance d'une variable X positive dont la loi a une densité on écrit (c'est la définition) puis on remarque que et on a donc d'où en intervertissant l'ordre des intégrations (et en faisant attention aux bornes) où est la fonction de survie.

[minushabens]

je m'aperçois que je me suis trompé dans le message précédent. Il fallait lire (et pas t dt).