Algebre linéaire - dimension d'un espace vectoriel de polynôme

[Kanieloutis]

Bonjour à tous,

J'ai une question assez bête en algèbre mais je ne parviens pas à en saisir le sens... Je m'explique : si l'on considère l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieur ou égal à 2 une base est biensur (1,X,X²).

Mon problème est là, la dimension de cet espace est 3 (si je reprends mon syllabus c'est N+1) hors pour moi c'est de dimension 1 étant donné que cette base est constitué d'un seul vecteur.
Si je prends la base canonique de R² on a B= (1,0),(0,1) ici nous avons bien deux vecteurs et la dimension est donc 2. Je sais que si je remplace (1,0)=e1 et (0,1)=e2 et donc B=(e1,e2) de dimension 2.


Et donc si je reviens au problème initial 1=e1, x=e,2 et x² = e3 pour dire B = (e1,e2,e3) me fait retombé sur une dimension 3.

Intuitivement je ne le comprends pas et j'ai l'impression de devoir user de recette magique pour le comprendre ou le retenir ..

Merci infiniment
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[gg0]

Bonjour.

Les éléments d'une base sont des vecteurs, donc ici, comme c'est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 2, les éléments d'une base sont des polynômes, 1, X et X² sont des polynômes.
D'ailleurs, pourquoi dis-tu que cette base "est constituée d'un seul vecteur" ? Quel vecteur (ici quel polynôme ?).
On dirait que tu confonds avec les triplets de réels, mais X et X² ne sont pas des réels, et le 1 est ici non pas un réel, mais un polynôme.

Question : Sais-tu vraiment ce qu'est un polynôme ?

Cordialement.

NB : " .. ou le retenir" ?? Il n'y a rien à retenir, seulement savoir de quoi on parle.

[PlaneteF]

Bonsoir,

hors pour moi c'est de dimension 1 étant donné que cette base est constitué d'un seul vecteur.

Tout comme gg0, je ne comprends absolument pas pourquoi tu dis cela ... Les polynômes , et sont bien évidemment 3 polynômes distincts

Cordialement

[PlaneteF]

Autre remarque :

Une notation pour un polynôme de degré inférieur ou égal à est :

Mais ce n'est qu'une notation parmi d'autres. Une autre notation classique est :

Ainsi, si l'on fait le lien entre ces 2 notations on a :

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Et si l'on veut une notation plus explicite, on peut même écrire :

Et donc ces 3 notations donnent :








Bref, quelle que soit la notation que tu veux bien choisir, il est manifeste que l'on a bien 3 polynômes formels différents


Cordialement

[invite9dc7b526]

Comme vecteurs de l'espace des polynômes sur K, on peut écrire dans la base naturelle de cet espace vectoriel 1 = (1,0,0,....) X=(0,1,0,...) et X^2=(0,0,1,0,...)