[ALGEBRE LINEAIRE] Dimension d'un espace

[invite11607b38]

Bonsoir à toutes et à tous,

Je viens vers vous aujourd'hui car je bute sur la seconde question d'un exercice d'algèbre linéaire dont l'énoncé n'est pas difficile à comprendre.

Etant donné A={ u ∈ L(E,F) / G ⊂ ker(u) } où G est un sous espace vectoriel de E.

Après avoir en première question montré que A est un sous-espace vectoriel de L(E,F), il me faut trouver la dimension de A.

Je pense avoir trouvé la réponse, mais comme souvent en math, c'est la démonstration qui prime.

Pour moi dim(A) = dim(F) x (dim(E) - dim(G)).

Pour le montrer j'ai voulu construire une base mais je me suis trompé en la construisant et je pense qu'il y a moyen de faire plus simple.

Pour cela j'ai posé une application "téta" de A dans L(H,F), où H est le supplémentaire de G dans E, qui à u associe u|H. Je veux montrer que cette application est un automorphisme (ainsi j'aurais prouvé le résultat sur les dimensions).

Pour ça il faut que je montre qu'elle est bien linéaire, surjective, injective et donc bijective, donc c'est un isomorphisme et en montrant que c'est aussi un endomorphisme j'aurais résolu mon soucis.

J'ai peine à montrer une seule de ces propriétés (hormis la linéarité)... Pourriez-vous me donner un coup de pouce ?

Merci et bonne soirée,

NeO'
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[invite15e3e0e7]

pour l'injectivité tu peux montrer que le Ker(téta)={0},et pour la surjectivité tu peux prendre un element de Im(téta) par exemple y et de montrer que y=téta(a) ou a appartient a A dit moi si c claire sinon je t'aide plus ...

[invite11607b38]

Merci pour ta réponse rapide.

Oui c'est clair, et c'est bien ce que je veux faire mais je n'arrive justement pas à montrer ces deux choses qui me paraissent pourtant simples...

[invite15e3e0e7]

le choix de l'application me semble un peu mauvais de ce que j'ai compris tu veut montrer que téta et bien un automorphisme pr dire que dim(A)=dim(F)xdim(H) non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) où H est le supplémentaire de G dans E, (...)

H est un supplémentaire de G dans E (il n'est généralement pas unique).

Je veux montrer que cette application est un automorphisme (ainsi j'aurais prouvé le résultat sur les dimensions).

Pour ça il faut que je montre qu'elle est bien linéaire, surjective, injective et donc bijective, donc c'est un isomorphisme et en montrant que c'est aussi un endomorphisme j'aurais résolu mon soucis.

n'est pas un endomorphisme (et donc pas un automorphisme) -> C'est un isomorphisme.

J'ai peine à montrer une seule de ces propriétés (hormis la linéarité)... Pourriez-vous me donner un coup de pouce ?

Comme l'a suggéré andromedae, pour l'injectivité, tu détermines le noyau de et tu montres qu'il est réduit au vecteur nul de .

, avec = vecteur nul de l'espace vectoriel



A partir de là il suffit donc de montrer que :

Soit , tu veux montrer que . Pour ce faire tu distingues alors 2 cas : , et c'est-à-dire (puisque est un supplémentaire de dans ).

La conclusion est immédiate.

Je te laisse montrer la surjectivité qui est tout aussi simple !


Cordialement

[PlaneteF]

, avec = vecteur nul de l'espace vectoriel

Rajouter au préalable : Soit

[PlaneteF]

Pour ce faire tu distingues alors 2 cas : , et c'est-à-dire (puisque est un supplémentaire de dans ).

ERRATUM : Oups, je rectifie cela car c'est bien évidemment complètement faux ... Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire, ... un grand classique !

En fait il faut juste écrire : Soit . s'écrit avec et ,

La conclusion reste tout aussi immédiate

[PlaneteF]

Remarque complémentaire :

On peut faire encore plus simple en montrant directement la bijectivité.

Pour cela on peut remarquer que puisque , tout élément de est totalement défini par et .

Cela étant dit, soit . On veut montrer que a un antécédent unique par .

Donc il suffit d'expliciter et (ce qui coule de source) et de préciser pourquoi il est forcément unique (coule de source de même).

[PlaneteF]

et de préciser pourquoi il est forcément unique (coule de source de même).

Dit plus précisément : "... et de préciser pourquoi ces 2 restrictions sont forcément uniques."

[invite11607b38]

le choix de l'application me semble un peu mauvais de ce que j'ai compris tu veut montrer que téta et bien un automorphisme pr dire que dim(A)=dim(F)xdim(H) non ?

Oui c'est bien ce que je veux montrer, en quoi mon choix est mauvais ?

H est un supplémentaire de G dans E (il n'est généralement pas unique).

Exact, toutes mes excuses.

n'est pas un endomorphisme (et donc pas un automorphisme) -> C'est un isomorphisme.

Deuxième grosse bêtise, désolé et merci pour la correction.

On peut faire encore plus simple en montrant directement la bijectivité.

Pour cela on peut remarquer que puisque , tout élément de est totalement défini par et .

Jusque là aucun soucis.

Donc il suffit d'expliciter et (ce qui coule de source) et de préciser pourquoi il est forcément unique (coule de source de même).

J'en ai honte mais pour moi ça ne coule pas de source... La restriction d'une application sur un ensemble est toujours unique ?

Quoi qu'il en soit merci pour vos réponses rapides et pertinentes !

[PlaneteF]

La restriction d'une application sur un ensemble est toujours unique ?

Oui par définition, mais ce n'est pas du tout la question que est en jeu ici !

Tout d'abord que proposes-tu pour et ?

[invite11607b38]

Oui je viens de me rendre compte de l'absurdité de ma question concernant l'unicité d'une restriction d'une application sur un intervalle... Décidément !

Pour u restreinte à G je propose 0 car u(G)=0 car G est inclus dans ker(u).

Pour u restreinte à H honnêtement je ne sais pas. Quoi que, je dirais que c'est v, tout simplement.

Toutes mes excuses pour ne pas mettre en page mes messages comme les vôtres, je ne sais pas faire.

[PlaneteF]

Ben c'est effectivement çà et cela ne peut pas être autre chose (d'où l'unicité) :

, et pas autre chose car imposé par la définition même de .

, et pas autre chose car imposé par la condition .

[invite11607b38]

J'ai compris ce que j'ai fait et c'est grâce à vous.

Merci pour votre aide patiente et pertinente.

Bonne continuation !