Groupe fondamental

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Je viens juste de débuter une partie importante en topologie algébrique : Les groupes fondamentaux, j'ai sauté cette partie au cours de mon apprentissage, et me consacrais uniquement à l'homologie et la cohomologie sans me donner la peine d'aborder ce sujet, car je voulais atteindre rapidement un certain niveau de compréhension pour aborder la conjecture de Hodge, maintenant j'ai changé de direction, je veux apprendre un peu plus sur les groupes fondamentaux, et j'ai une question dans ce sens.

Pourquoi le groupe fondamental d'une variété compact est dénombrable ?.
Je n'ai presque aucune connaissance en groupes fondamentaux, sauf la définition, et quelques simples exemples introductifs.

Cordialement.
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[taladris]

Salut,

je n'ai pas la reponse mais peut-etre qu'en utilisant Van Kampen et le fait que toute variete compacte admette un bon recouvrement (ie. par des ouverts contractiles et tel qu'une union non vide est aussi contractile) fini, tu devrais t'en sortir.

C'est une idee en l'air (je ne saurais absolument pas combler les details) mais l'idee du bon recouvrement fini est tres utile: elle permet par exemple de passer de la cohomologie de De Rham a la cohomologie de Cech-De Rham, et ainsi de montrer que la cohomologie de Rham est de dimension finie.

Cordialement

PS: je n'ai pas eu le temps de reflechir a ta question sur Mayer-Vietoris, desole. As-tu solutionne ton probleme?

[invite179e6258]

je suppose que ça vient du fait qu'une variété topologique est localement homéomorphe à un R^n, donc quelque-chose de "pas si gros". Si en revanche tu considères un produit non denombrable de cercles, compact parce que chaque cercle est compact, son groupe fondamental va être le produit non dénombrable de groupes isomorphes à Z. Mais ces considérations ne sont pas une preuve...

[invite47ecce17]

Bonjour,
Cela vient du fait, par exemple, que toute variété compacte a le type d'homotopie d'un CW complexe fini.
Par le theoreme de l'application cellulaire tu as simplement besoin de prouver que le 1-squelette d'un CW complexe a un groupe fondamental de type fini.
Ce qui se fait bien.

Tu peux aussi t'en sortir comme dit plus haut en utilisant le theoreme de Van Kampen.

Quand a ma première assertion. Je crois que c'est prouvé dans Hatcher.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci à vous tous pour toutes ces précisions. Je vais essayer de réfléchir à ce que vous avez dit.

PS: je n'ai pas eu le temps de reflechir a ta question sur Mayer-Vietoris, desole. As-tu solutionne ton probleme?

Non, je n'ai pas encore trouvé la réponse malheureusement.