Groupe fondamental (calcul)

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Bonjour,
Je voudrais calculer le groupe fondamental de cet espace :
On prend l'union disjointe de deux tores et l'on identifie un cercle avec le "même" cercle .

J'ai essayé d'appliquer le théorème de van Kampen :
On prend la réunion disjointe de et d'un petit cylindre où l'on fait la même identification que précédemment.
On prend la réunion disjointe de et d'un petit cylindre où l'on fait la même identification que précédemment.

On a alors connexes par arcs.
De plus, et sont isomorphes à puisque et se rétractent par déformation sur des tores.
Enfin, est isomorphe à puisque se rétracte par déformation sur un cercle.

Du coup, si ce que j'ai fait est juste, le groupe fondamental de mon espace est égal au produit amalgamé de et par rapport aux homomorphismes et

Mes questions :
- Déjà, est-ce que ce que j'ai fait est à peu près correct ? (je sais, le manque de confiance n'est pas une bonne chose...) Dans le cas contraire, serait-il possible d'avoir une piste de réflexion ?
- Ensuite, en supposant que ça soit correct, est-ce que vous pensez que ma rédaction est suffisante, ou bien est-ce qu'il faut davantage de justifications ?
- Si jamais c'est juste, y a-t-il un moyen de simplifier le résultat ? J'avoue que cette histoire de produit amalgamé n'est pas très clair dans mon esprit...

Je précise que ce calcul fait partie d'un devoir que j'ai à rendre, c'est pourquoi je ne veux pas de correction précise si c'est faux, simplement des pistes.
Merci d'avance !
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