Groupe fondamental

[Snowey]

Bonjour,
connaitriez vous des "applications" classiques (en mathématiques, mais pourquoi pas en physique, bien que j'en doute) de la notion de groupe fondamental d'un espace topologique ?
Les quelques recherches que j'ai effectuées à ce sujet (cours de Jean Lannes entre autre) permettent de mettre en place quelques définitions et premières propriétés. N'ayant pas le niveau requis pour tout comprendre, je cherche en fait à approfondir clairement (mais rigoureusement) certains points, et in fine à comprendre en quoi cette notion permet de caractériser certains ensembles (typiquement, quelles actions rendent stables un groupe fondamental, ...).

Merci d'avance.
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[invite76543456789]

Salut!
Les applications les plus classiques tournent sans doute autour du theoreme du point fixe de Brouwer, pour le disque.
Globalement le groupe fondamental est un outil particulièrement utile un peu partout, et c'est un des invariant important d'un espace.
En particulier c'est un invariant d'homotopie, donc si deux espaces ont le meme type d'homotopie ils ont le meme groupe fondamental, c'est tres interessant si tu veux montrer que des espaces ne sont pas homéomorphe par exemple.
Les groupes d'homotopies sont des invariants tres fins (et en general tres tres difficile a calculer), le point c'est que les operation topologiques sur ton espace se traduisent en opération algébriques sur ton groupe (ce qui est nettement plus facile a comprendre).
Par exemple comprendre l'action par monodronie du groupe fondamental sur la fibre d'un revetement te permet de comprendre assez facilement la catégorie des revetements d'un espace, ou meme la catégorie des fibrés plats sur cet espace.
En physique toutes ses techniques se retrouvent.

[thepasboss]

Bonsoir,

sinon deux applications, une plus sérieuse que l'autre. Tout d'abord pour différencier deux noeuds A et B on peut étudier le groupe fondamental de R^3 privé de A et celui de R^3 privé de B. Je n'en suis pas sur, mais il me semble que cela suffit à caractériser les noeuds, mais je ne préfère pas m'avancer. Dans tous les cas, je sais que deux noeuds particulièrement moches ont été différenciés avec ce genres de techniques.

Sinon application plus rigolote : comment attacher un tableau à 2 clou de telle manière que retirer l'un des deux clous entraîne la chute du tableau ? De même avec trois clou ? n clous ?

[Snowey]

Merci beaucoup à vous deux
C'est dans justement dans cet esprit que je voudrais diriger mes recherches (oulah, dit comme celà ça parait très sérieux ^^): Invariance du groupe, relier deux espaces grâce à leurs groupes fondamentaux, traduire des opérations topologies en opération de groupe ( je suis très curieux, là), et pourquoi pas des noeuds ?
En ce qui concerne la physique, peut être celà dépasse t'il largement le programme de première année (parce que je ne vois pas trop le lien, mais c'est d'autant plus stimulant pour en chercher !)
Auriez vous des lectures à me conseiller ?

PS: thepas boss, je suppose que l'intêret réside dans le passage à n points (en tout cas pas à deux, parce que pour celà il suffit qu'ils ne soient pas sur l'axe de symétrie dudit tableau, non ?). Le problème assez marrant, et surtout surprenant je trouve, parce que je l'aurais rapproché de la physique et de la création de moments
Un indice pour poursuive ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Un résultat que j'aime assez :

Si l'on se donne un groupe G de type fini, que l'on munit d'une partie génératrice finie X, un problème classique est de savoir si un mot sur X (c'est-à-dire une suite de multiplications d'éléments de X ou de leurs inverses) est égal à l'élément neutre ou non ; c'est le problème du mot. Plus précisément, on dit que le problème du mot est résoluble dans G si l'ensemble des mots sur X (on montre en fait que cela ne dépend pas de la partie génératrice finie choisie) égaux à l'élément neutre est récursif, c'est-à-dire s'il existe une machine de Turing (grossièrement, un ordinateur) qui permette de dire si un tel mot est égal à l'élément neutre ou non. Des exemples de groupes où le problème du mot est résoluble sont les groupes finis, les groupes libres (éventuellement abéliens). [Un résultat amusant donne l'équivalence entre la résolution de problème de mot et la possibilité de dessiner les graphes de Cayley d'un groupe, ce qui relie ce problème à la théorie géométrique des groupes.]

Un résultat difficile à montrer affirme qu'il existe des groupes (en fait il en existe "beaucoup") dans lesquels le problème du mot n'est pas résoluble.

Grâce aux groupes fondamentaux, on peut alors en donner un corollaire topologique : il n'existe pas de marchine de Turing permettant de classer les variétés topologiques. [Ce qui ne veut pas dire que l'on ne peut pas trouver des classifications particulières, voir par exemple la conjecture de Poincaré.]

Sinon application plus rigolote : comment attacher un tableau à 2 clou de telle manière que retirer l'un des deux clous entraîne la chute du tableau ? De même avec trois clou ? n clous ?

Pourrais-tu détailler la position du problème ? Parce que vue comme je me l'imagine, il n'y a pas de solution

[thepasboss]

Hmmm il faudrait que je fasse un petit dessin, mais pas vraiment le temps maintenant tout de suite, donc on va faire comme on peut.

On se donne un tableau rectangulaire. Aux deux coins supérieurs du tableau on accroche une ficelle. Maintenant, j'ai deux clous sur un mur situé dans n'importe quelle position (aligné verticalement, horizintalement, n'importe comment... ) et je souhaite en emmêlant la ficelle dans les deux clous faire tenir le tableau sur le mur (c'est à dire qu'il ne tombe pas par terre) et de telle façon que, si je retire un de deux clous, n'importe lequel, alors le tableau n'est plus tenu et il tombe par terre.

Même question avec trois clous, 4 clous, n clous. Il y a bien une solution .

[Seirios]

C'est très clair Sympathique comme problème. J'ai trouvé une solution pour deux clous, je vais essayer de généraliser.

[Seirios]

J'ai trouvé une solution au problème, je ferai éventuellement un croquis pour comparer avec d'autres solutions. Par contre, en quoi est-ce une application des groupes fondamentaux ? Il y a bien un lien, mais de là à parler d'application...À moins qu'il y ait une manière de voir à côté de laquelle je sois passé à côté.

[Snowey]

Ahah, tu piques encore plus ma curiosité Seirios !

[thepasboss]

J'ai trouvé une solution au problème, je ferai éventuellement un croquis pour comparer avec d'autres solutions. Par contre, en quoi est-ce une application des groupes fondamentaux ? Il y a bien un lien, mais de là à parler d'application...À moins qu'il y ait une manière de voir à côté de laquelle je sois passé à côté.

Hmm et bien effectivement, je ne sais pas si on peut parler d'applications, mais en tout cas la notion de groupe fondamental m'a carrément aidé (ainsi que quelques amis !) pour trouver une solution.

[Seirios]

Ahah, tu piques encore plus ma curiosité Seirios !

Si tu as besoin de plus de détails, n'hésite pas

[invite76543456789]

Salut!
Pourtant je trouve bien moi que c'est une application directe de la theorie du groupe fondamental.*

 Cliquez pour afficher

Si on note j l'inclusion du plan prive de deux points dans celui prive d'un seul point. *Alors le probleme devient "trouver un lacet non trivial dans le plan prive de deux points qui devient trivial dans le plan prive d'un seul" (il est clair qu'on peut suspendre le tableau par un point au lieu de deux.... Bien sur dans la realite ne le faites pas, il pencherait!).*
Le groupe fondamental du plan prive deux points est le groupe libre a deux generateurs (van kampen), notes disons a et b. Celui du plan prive d'un point c'est Z.*
L'application j_* induite par j, est juste a->1 et b->0 (ou l'inverse si on enleve le second clou).*
Il suffit donc de trouver un mot a deux lettres, non trivial, qui devient trivial quand on tue l'une ou l'autre des lettres.*
Un commutateur (a,b) fait parfaitement l'affaire, geometriquement on enroule la ficelle dans le sens positif autour du premier clou puis positif autour du second, puis negatif autour du premier et negatif autour du second.

[thepasboss]

Salut!
Pourtant je trouve bien moi que c'est une application directe de la theorie du groupe fondamental.*

 Cliquez pour afficher

Si on note j l'inclusion du plan prive de deux points dans celui prive d'un seul point. *Alors le probleme devient "trouver un lacet non trivial dans le plan prive de deux points qui devient trivial dans le plan prive d'un seul" (il est clair qu'on peut suspendre le tableau par un point au lieu de deux.... Bien sur dans la realite ne le faites pas, il pencherait!).*
Le groupe fondamental du plan prive deux points est le groupe libre a deux generateurs (van kampen), notes disons a et b. Celui du plan prive d'un point c'est Z.*
L'application j_* induite par j, est juste a->1 et b->0 (ou l'inverse si on enleve le second clou).*
Il suffit donc de trouver un mot a deux lettres, non trivial, qui devient trivial quand on tue l'une ou l'autre des lettres.*
Un commutateur (a,b) fait parfaitement l'affaire, geometriquement on enroule la ficelle dans le sens positif autour du premier clou puis positif autour du second, puis negatif autour du premier et negatif autour du second.

Voilà ce que je voulais dire

[Seirios]

Pourtant je trouve bien moi que c'est une application directe de la theorie du groupe fondamental.*

 Cliquez pour afficher

Si on note j l'inclusion du plan prive de deux points dans celui prive d'un seul point. *Alors le probleme devient "trouver un lacet non trivial dans le plan prive de deux points qui devient trivial dans le plan prive d'un seul" (il est clair qu'on peut suspendre le tableau par un point au lieu de deux.... Bien sur dans la realite ne le faites pas, il pencherait!).*
Le groupe fondamental du plan prive deux points est le groupe libre a deux generateurs (van kampen), notes disons a et b. Celui du plan prive d'un point c'est Z.*
L'application j_* induite par j, est juste a->1 et b->0 (ou l'inverse si on enleve le second clou).*
Il suffit donc de trouver un mot a deux lettres, non trivial, qui devient trivial quand on tue l'une ou l'autre des lettres.*
Un commutateur (a,b) fait parfaitement l'affaire, geometriquement on enroule la ficelle dans le sens positif autour du premier clou puis positif autour du second, puis negatif autour du premier et negatif autour du second.

Vu comme ça

En cherchant à la main, j'ai trouvé une solution différente :

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On passe au dessus du premier clou, en dessous du deuxième, on repasse au dessus des deux clous pour ensuite passer entre les deux clous et passer par dessus le deuxième clous. J'espère que c'est clair

[Médiat]

Bonjour,

Qui doit correspondre à

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si je ne m'abuse.

[Médiat]

En notant l'élément solution pour clous, et l'enroulement positif autour du clou et donc l'enroulement négatif autour du clou , est-ce que pour n clous, il existe des solutions plus simples que :

 Cliquez pour afficher

Parce qu'avec 3 clous, c'est déjà bien compliqué, et avec 4 je n'essaye même pas .

[Seirios]

Pour ma part, j'ai trouvé la même solution donc je ne sais pas...

[Tryss]

Il y a un article sur le problèmes des tableaux dans le PLS de ce mois ci (juillet 2012)

J.P. Delahaye lirait-il le forum?

[FAN FAN]

Salut!
Pourtant je trouve bien moi que c'est une application directe de la theorie du groupe fondamental.*

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Si on note j l'inclusion du plan prive de deux points dans celui prive d'un seul point. *Alors le probleme devient "trouver un lacet non trivial dans le plan prive de deux points qui devient trivial dans le plan prive d'un seul" (il est clair qu'on peut suspendre le tableau par un point au lieu de deux.... Bien sur dans la realite ne le faites pas, il pencherait!).*
Le groupe fondamental du plan prive deux points est le groupe libre a deux generateurs (van kampen), notes disons a et b. Celui du plan prive d'un point c'est Z.*
L'application j_* induite par j, est juste a->1 et b->0 (ou l'inverse si on enleve le second clou).*
Il suffit donc de trouver un mot a deux lettres, non trivial, qui devient trivial quand on tue l'une ou l'autre des lettres.*
Un commutateur (a,b) fait parfaitement l'affaire, geometriquement on enroule la ficelle dans le sens positif autour du premier clou puis positif autour du second, puis negatif autour du premier et negatif autour du second.

Solution générale pour n clous expliquée en détail dans la revue :
"POUR LA SCIENCE - juillet 2012 - n°417 - page 82",
par l'excellent auteur Jean-Paul DELAHAYE;

[Snowey]

Ahah, en effet !
Un petit clin d'oeil pour Médiat (oui, et Seirios aussi ^^), qui avait (bien évidemment ) trouvé un moyen simple et efficace de généraliser à n clous