Groupe fondamental et rationnels

[invite76543456789]

Bonjour,
Il est connu que tout groupe peut etre réalisé comme le groupe fondamental d'un espace topologique, qui peut même etre un CW-complexe.
Je crois qu'il est faux que tout groupe puisse etre le groupe fondamental d'une variété topologique (disons compacte).
Est ce que Q peut etre le groupe fondamental d'une telle variété? Plus generalement y a t il un critère pour savoir si on peut realiser un groupe comme le groupe fondamental d'un espace gentil (plus gentil qu'un CW complexe, par exemple une variété topologique ou mieux PL).
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[0577]

Bonsoir,

le groupe fondamental d'une variété topologique compacte est de présentation finie,
ce qui exclut .
On peut encore poser la question pour une variété topologique (non-compacte).
Je crois que si G est un groupe dénombrable de dimension cohomologique finie,
alors il existe une variété topologique dont le groupe fondamental est G (en fait,
on peut faire mieux : dont le type d'homotopie est celui d'un espace d'Eilenberg-MacLane
K(G,1)) : il faut utiliser le théorème d'Eilenberg-Ganea qui dit que sous ces
hypothèses K(G,1) a le type d'homotopie d'un CW-complexe dénombrable
de dimension finie puis il faut travailler un peu pour se ramener à une
variété topologique.
Tout se ramène donc à : est-il de dimension cohomologique finie ?
Je pense que oui mais il est trop tard pour que j'arrive à savoir pourquoi ...

[Seirios]

Bonjour,

Un résultat que j'ai croisé pendant mon stage : si l'on dit qu'un groupe est de surface s'il est isomorphe au groupe fondamental d'une surface réelle, compacte, connexe à bord et de classe , alors tout groupe de surface, excepté celui du plan projectif, de la bouteille de Klein et de la somme connexe de trois plans projectifs, est un groupe limite.

Une des caractérisations possibles des groupes limites est de dire que ce sont les groupes de même théorie universelle qu'un groupe libre, ou encore que ce sont les groupes multi-résiduellement libres.

Tu peux regarder le séminaire Bourbaki présenté par Frédéric Paulin (disponible sur sa page, Sur la théorie élémentaire des groupes libres).

[invite76543456789]

Bonsoir,

le groupe fondamental d'une variété topologique compacte est de présentation finie,
ce qui exclut .
On peut encore poser la question pour une variété topologique (non-compacte).
Je crois que si G est un groupe dénombrable de dimension cohomologique finie,
alors il existe une variété topologique dont le groupe fondamental est G (en fait,
on peut faire mieux : dont le type d'homotopie est celui d'un espace d'Eilenberg-MacLane
K(G,1)) : il faut utiliser le théorème d'Eilenberg-Ganea qui dit que sous ces
hypothèses K(G,1) a le type d'homotopie d'un CW-complexe dénombrable
de dimension finie puis il faut travailler un peu pour se ramener à une
variété topologique.
Tout se ramène donc à : est-il de dimension cohomologique finie ?
Je pense que oui mais il est trop tard pour que j'arrive à savoir pourquoi ...

D'accord merci, j'ignorais que les K(G,1) avaient le type d'homotopie d'une variété topologique des que G etait de dimension projective finie, ca repond parfaitement ma question.
Pour Q je ne sais pas s'il est de dimension projective finie, faudrait regarder de plus pres le noyau de la fleche du ZQ module libre engendré par les ([q]-1) pour q rationel, qui s'envoit dans ZQ par ([q]-1)->[q]-1... je regarderais ca quand j'aurai un moment! (a moins que la resolution standard ne permette de s'en sortir plus facilement, je ne sais pas).

Merci de vos deux reponses!

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonsoir,

je suis incapable de calculer algébriquement la dimension cohomologique de
mais voici une construction d'un CW-complexe X de dimension deux dont le groupe
fondamental est (en fait, c'est un espace d'Eilenberg-MacLane
K(,1)) :

Idée : le cylindre a pour groupe fondamental ,
pour obtenir , il faut "ajouter des dénominateurs".

On considère () une suite de cylindres , n=1,2 ...
Soient et les deux cercles extrêmes de .
On construit X en mettant les bout à bout mais en "tordant" à chaque fois.
Plus précisément, on colle à
à l'aide de :.

Par exemple, dans X, un cercle autour de est homotope à deux fois un cercle
autour de , qui est lui-même homotope à trois fois un cercle autour de
... On a exactement ajouter tous les dénominateurs nécessaires,
ce qui montre que le groupe fondamental de X est .

Bien sûr, X n'est pas une variété topologique (regarder ce qui se passe au niveau des recollements...)
mais ce n'est pas grave : on commence par plonger X dans un
(je crois qu'on ne peut pas prendre N=3 : essayer de faire un recollement comme ci-dessus avec
une feuille de papier : c'est impossible sans autointersection. On prend N assez grand pour faire
disparaître les autointersections) puis on prend un voisinage ouvert de X
dans : on obtient une variété topologique
(en fait un ouvert de !) dont le groupe fondamental est .

Remarque 1): la construction de X semble être un des points de départ de la "théorie de l'homotopie rationnelle",
pour plus d'informations et de jolies images, voir http://math.ucr.edu/home/baez/week286.html et
les références qui s'y trouvent.
(J'avais une vague idée de ce qu'est la théorie de l'homotopie rationnelle : l'étude des groupes d'homotopie
modulo la torsion, mais j'ai mis du temps à faire le lien avec la question : c'est apparemment plus
ou moins équivalent à l'étude des espaces dont les groupes d'homotopie sont des espaces vectoriels
sur ...)

Remarque 2) : je suis intéressé si quelqu'un sait calculer algébriquement la dimension cohomologique de .