Comment définir une fonction dans un espace courbe ?

[invite3e5ede0a]

Bonjour à tous

Dans un espace cartésien de dimension 2, on peut définir une fonction comme y=f(x) : à chacun des points x de l'espace correspond une valeur y. Physiquement, on pourrait faire l'analogie avec la mesure du courant dans un fil (très fin) : pour un x donné, on relèverait une mesure y.

Si maintenant on "courbe" cet espace, on pourrait tout à fait définir une fonction donnant "la mesure du courant" à partir de l'abscisse curviligne s.

Dans un espace cartésien de dimension 3, on définir une fonction comme f(x,y) qui pour chaque tuple de point (x,y) associe une grandeur, disons z. Physiquement, on pourrait faire l'analogie avec une plaque portée à une contrainte de température : en chacun des points (x,y) on mesurerait une temperature z.

Imaginons qu'on "courbe" cette plaque. Physiquement, on conçoit assez bien que l'on puisse relever en chacun des points de cette nappe (est-ce le bon terme mathematique ?) une temperature. Mon problème est que je n'arrive pas "formaliser" une fonction définie par 2 coordonnées curvilignes ! Est-ce possible ?
Sur une sphère (ex : la terre), on peut repèrer un point par diverses manières : des coordonnées sphériques (R,theta,phi), où bien à rayon constant par les latitudes et longitudes... Mais comment procéder sur une surface quelconque (qui ne soit si une sphère ni un cylindre) ?

J'ai illustré mon problème par le schéma suivant :
http://www.forum-openoffice.org/ci-j.../20-050954.png

Désolé par avance si les termes employés se sont pas corrects mathématiquement. Corrigez moi
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je comprends pas bien la question. Une fonction sur une variété M est, comme dans les cas usuels, une application f de M dans R. Après, la représentation graphique peut poser des problèmes, je comprends bien, mais la fonction est ainsi parfaitement définie.

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rvz

[invite3e5ede0a]

Je comprends pas bien la question. Une fonction sur une variété M est, comme dans les cas usuels, une application f de M dans R. Après, la représentation graphique peut poser des problèmes, je comprends bien, mais la fonction est ainsi parfaitement définie.

Quelle soit définie, je le conçois. Mais je n'arrive à l'écrire
Par exemple, quelle serait l'équation d'une fonction, disons par exemple une gaussienne, sur une nappe sphérique ou paraboloïdale ?

[invite6b1e2c2e]

Bon, je ne vois toujours pas exactement ce qui te pose problème, alors je vais donner un exemple.

Imagine que tu travailles sur la sphère unité en dimension 3.

Tu peux donner plusieurs équations de ta sphère :
x^2+y^2+z^2 = 1
ou
r = 1, en sphériques avec deux angles a et b, l'un dans [0,2pi[, l'autre dans [0,pi], surlesquels tu n'as pas de condition.

Maintenant, je me donne une fonction sur cette sphère.

Disons qu'à M point de la sphère, j'associe f(M) = 2x + 5a +8z*b, où le point M est représenté par (x,y,z) en coordonnées cartésiennes, et (r,a,b) en coordonnées sphériques.

Cette fonction est parfaitement définie. Si je veux la voir en fonction des coordonnées cartésiennes, je rappelle juste que a et b sont des fonctions de (x,y,z). Dans ce cas, j'obtiens
f(x,y,z) = 2x + 5a(x,y,z) +8z*b(x,y,z).
et f est défini sous la contrainte x^2+y^2+z^2 = 1

Si maintenant, je préfére voir f comme une fonction de ses coordonnées sphériques, je fais pareil.
f(r,a,b)= 2x(r,a,b) + 5a +8z(r,a,b)*b
sous la contrainte r = 1. Evidemment, dans ce cas, ça peut s'écrire plus simplement sous la forme
f(a,b)= 2x(1,a,b) + 5a +8z(1,a,b)*b.

J'espère que ça répond à ta question. Sinon, essaye de me donner un exemple qui te pose problème, et j'essaierai (je suis sûr que je ne serai pas le seul ) de répondre à tes questions.

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e5ede0a]

Merci pour tes réponses. Voici un exemple :
Soit f une fonction de R^2 dans R
f(x,y) = exp(-(x^2+y^2))

Bon, cette fonction est définie dans l'espace cartésien. Si maintenant je voudrais définir une pareille gaussienne mais sur une surface quelconque ? Par exemple sur une surface (une nappe serait le terme le plus exact, non ?) quadratique définie par z = -(x/R1)^2-(y/R2)^2
Avec ce genre de chose : on aurait un maximum au sommet de la surface quadratique, et l'amplitude décroirait en exp(-s^2) à mesure que l'on s'éloigne du sommet en suivant la surface (s serait l'abscisse curviligne courant à la surface...)

Voici comment je vois les choses : imaginons que l'on ait une fonction qui pour chaque point d'un plan (x,y,z=0) définisse une valeur f(x,y) comme plus haut.

Comment écrire ce même genre de fonction (une gaussienne ici) mais sur une surface courbe comme la quadrique citée ? (on peut imaginer qu'on déforme le plan "supportant" la gaussienne "euclidienne" en une autre surface...)

Est-ce plus clair ?

[invite6b1e2c2e]

Tu peux certainement conserver la même fonction dans ce cas, en posant g(x,y,z) = f(x,y), mais ça ne doit pas être ça que tu veux, n'est ce pas ?

Cela dit, l'intérêt d'une fonction comme une gaussienne, c'est qu'elle vérifie certaines propriétés intéressantes, par exemple, c'est la solution fondamentale de l'équation de la chaleur sur R^2 (rajouter des paramètres temporels un peu partout). Eh bien, de même, sur une variété, tu peux te demander s'il existe une solution fondamentale à l'équation de la chaleur, et si oui, au moins moralement, tu peux l'appeler gaussienne.

De même pour les séries de Fourier : la base des exp(ikx) est pratique quand tu travailles sur (0,2pi). Maintenant, imagines que tu travailles sur la sphère en 3D. Comment définir une "série de Fourier" ? En essayant de déterminer les fonctions propres du laplacien sur cette surface !

En fait, certainement, pour te répondre mieux, j'aurais besoin de savoir ce que tu attends au juste d'une gaussienne, quelles propriétés sont caractéristiques d'une gaussienne pour toi. Alors tu pourras essayer de voir ce qui se passe sur des surfaces générales.

Tu remarqueras que les exemples que j'ai donnés sont très analytiques : Je n'y peux rien, déformation professionnelle

__
rvz

[invite295e0cb4]

ne serais ce pas simplement une fonction a deux variables de Z en fonction de X et y qu'il te faudrait....

[invite3e5ede0a]

Tu peux certainement conserver la même fonction dans ce cas, en posant g(x,y,z) = f(x,y), mais ça ne doit pas être ça que tu veux, n'est ce pas ?

En effet, car si on utilise la même fonction, on fait une sorte de "mapping" (une projection) d'une gaussienne définie sur un plan sur la surface... et ce n'est pas exactement ce que je veux.

En fait, certainement, pour te répondre mieux, j'aurais besoin de savoir ce que tu attends au juste d'une gaussienne, quelles propriétés sont caractéristiques d'une gaussienne pour toi. Alors tu pourras essayer de voir ce qui se passe sur des surfaces générales.

J'attend d'une gaussienne tout simplement une décroissance exponentielle en fonction de la distance que l'on parcourt par rapport à l'origine.

Par exemple, imaginons une courbe quelconque. On peut définir dessus une abscisse curviligne s. On peut définir une "gaussienne" exp(-s^2) : l'amplitude sera max à l'origine du repère curvligne (par exemple un point de départ sur la courbe) et va décroitre exponentiellement à mesure que l'on parcourt du chemin "sur" cette courbe...

Oui, mais voilà, comment faire avec une dimension supplémentaire : comment définir une "abscisse curviligne" avec une dimension supérieure ? Comment définir une fonction dont la décroissance est exponentielle à mesure que l'on s'éloigne d'un point qualifié d'Origine sur une surface ?

Raah, c'est rageant : je parle en physicien, et aucun mathématicien ne me comprends

[GrisBleu]

Salut

rvz avait de bonnes remarques, meme du point de vue physicien... tant pis
j essaie de donner un example: prend une sphere et tu te donnes le pole nord N comme "origine". soit p un point quelconque de la sphere. Il y a un moyen de lui donner une distnace "intrinseque" a la surface: c est la geodesique liant N a p. Si tu as une representation en coordonnees spheriques ( ou pour N, la longueur est (si je ne me trompe pas)

pose alors exp(-r \theta), tu as bien une decroissance exponentielle.

Ca te va ? Dans le cas general, c est plus complique car les coordonnees ne decrivent qu une partie de ta surface et tu dois changer de systeme de coordonnees si tu en sors. Par contre, il est souvent possible de definir les geodesique qui sont les lignes sur ta surface de longueurs extremales. Tu peux definir des gaussiennes de ces longueurs sans problemes.

regarde les notions de varietes riemaniennes pour avoir un cadre mathematique propre

[invitefa5fd80c]

Imaginons qu'on "courbe" cette plaque. Physiquement, on conçoit assez bien que l'on puisse relever en chacun des points de cette nappe (est-ce le bon terme mathematique ?) une temperature. Mon problème est que je n'arrive pas "formaliser" une fonction définie par 2 coordonnées curvilignes ! Est-ce possible ?
Sur une sphère (ex : la terre), on peut repèrer un point par diverses manières : des coordonnées sphériques (R,theta,phi), où bien à rayon constant par les latitudes et longitudes... Mais comment procéder sur une surface quelconque (qui ne soit si une sphère ni un cylindre) ?

Salut,

Je vais risquer ma propre interprétation de ton problème

Si je comprends bien, tu voudrais pouvoir trouver dans le cas le plus général possible des coordonnées ayant un sens géométrique pour représenter les points de la surface courbe. Si c'est ça, alors ton problème est résolu car c'est impossible. Dans un tel cas, tout ce que tu peux faire c'est utiliser des coordonnées qui ne sont que des étiquettes que tu apposes à chaque point de la surface, et ces étiquettes n'ont aucune signification géométrique. Les propriétés géométriques sont dans ce cas entièrement contenues dans le tenseur métrique que l'on peut définir en chaque point de la surface.

A+

[invite3e5ede0a]

Salut

rvz avait de bonnes remarques, meme du point de vue physicien... tant pis
j essaie de donner un example: prend une sphere et tu te donnes le pole nord N comme "origine". soit p un point quelconque de la sphere. Il y a un moyen de lui donner une distnace "intrinseque" a la surface: c est la geodesique liant N a p. Si tu as une representation en coordonnees spheriques ( ou pour N, la longueur est (si je ne me trompe pas)

pose alors exp(-r \theta), tu as bien une decroissance exponentielle.

Ca te va ? Dans le cas general, c est plus complique car les coordonnees ne decrivent qu une partie de ta surface et tu dois changer de systeme de coordonnees si tu en sors. Par contre, il est souvent possible de definir les geodesique qui sont les lignes sur ta surface de longueurs extremales. Tu peux definir des gaussiennes de ces longueurs sans problemes.

En effet, c'était mon idée de départ : j'ai une surface (paraboloide) dont j'ai calculé la longueur s allant de l'origine (le sommet de la quadrique) à un point z(x,y) de la quadrique (c'est une géodésique). J'ai donc une distance s qui dépend des deux paramètres x,y. Ok. Alors je peux en effet définir une gaussienne qui aurait l'allure de f(x,y)=exp(-s(x,y)^2).

Mais voila : une telle fonction est symétrique : la décroissance est commune à n'importe quelle direction. Si je me balade au nord de l'origine, la décroissance exponentielle sera du même type qu`à l'Est... Et ça, c'est pas ce que je voudrais J'aimerais pouvoir avoir des paramètres sur lesquels je puisse jouer pour définir les décroissances dans les plans principaux de courbure.

Par exemple dans le cas d'une gaussienne dans un espace cartésien : exp(-(x/R1)^2-(y/R2)^2), la décroissance selon l'axe x n'est pas la même que selon l'axe y (R1 different de R2). Comment "traduire" cette propriété sur une surface (paraboloide par exemple) ?

[invite3e5ede0a]

Salut,

Je vais risquer ma propre interprétation de ton problème

Si je comprends bien, tu voudrais pouvoir trouver dans le cas le plus général possible des coordonnées ayant un sens géométrique pour représenter les points de la surface courbe. Si c'est ça, alors ton problème est résolu car c'est impossible. Dans un tel cas, tout ce que tu peux faire c'est utiliser des coordonnées qui ne sont que des étiquettes que tu apposes à chaque point de la surface, et ces étiquettes n'ont aucune signification géométrique. Les propriétés géométriques sont dans ce cas entièrement contenues dans le tenseur métrique que l'on peut définir en chaque point de la surface.

A+

ha ha...

Il va donc falloir que je n'y coupe pas et que je bosse de la géométrie différentielle

[invite6b1e2c2e]

Salut

rvz avait de bonnes remarques, meme du point de vue physicien... tant pis

Je te cite parce que ça fait toujours plaisir

j essaie de donner un example: prend une sphere et tu te donnes le pole nord N comme "origine". soit p un point quelconque de la sphere. Il y a un moyen de lui donner une distnace "intrinseque" a la surface: c est la geodesique liant N a p. Si tu as une representation en coordonnees spheriques ( ou pour N, la longueur est (si je ne me trompe pas)

pose alors exp(-r \theta), tu as bien une decroissance exponentielle.

J'avais pas pensé à ça. Effectivement, c'est pas mal du tout. J'y penserais la prochaine fois que je parlerai géométrie avec un physicien
Par contre, je dois avouer que je ne vois pas trop comment tenir compte d'une éventuel dissymétrie dans les coefficients, à moins d'avoir un système de coordonnées globales sur ta variété, ce qui revient à dire que ta variété est homéo/difféo-morphe (ça dépend du cadre précis dans lequel tu te places) à une surface très simple, type R, un segment, un rectangle, R^2, etc...

__
rvz

[invite986312212]

salut,

je ne sais pas pourquoi tu veux définir une fonction gaussienne sur une surface, mais si c'est pour faire des probas, sache qu'il existe des distributions sur la n-sphère qui jouent le rôle de la loi normale (loi limite, entropie maximale, etc). C'est les lois de Bingham. De toutes façons, sur une surface compacte tu risques d'avoir des problèmes avec la loi normale.

[invite3e5ede0a]

Par contre, je dois avouer que je ne vois pas trop comment tenir compte d'une éventuel dissymétrie dans les coefficients, à moins d'avoir un système de coordonnées globales sur ta variété, ce qui revient à dire que ta variété est homéo/difféo-morphe (ça dépend du cadre précis dans lequel tu te places) à une surface très simple, type R, un segment, un rectangle, R^2, etc...

Je me place sur une quadrique, dont une equation simplifiée serait par exemple :
z(x,y) = - 1/2((x/R1)^2 + (y/R2)^2)
oú R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux...

il faut que je regarde la définition des homéo et difféomorphismes...

[inviteaf1870ed]

J'ai l'impression que tu te poses la question de la représentation de ta fonction (son graphe), et non de sa définition :

Par exemple en dimension 1 tu prends la fonction constante y=a; son graphe est une droite parallèle à l'axe des x. Avec ta "déformation", si tu appliques ta fonction non pas à une droite, mais à un cercle de rayon R, tu trouves un autre cercle de rayon R+a. EN dimension 2, tu passe d'un plan à une sphère.

Est ce bien le cas ?

[invite3e5ede0a]

J'ai l'impression que tu te poses la question de la représentation de ta fonction (son graphe), et non de sa définition :

Par exemple en dimension 1 tu prends la fonction constante y=a; son graphe est une droite parallèle à l'axe des x. Avec ta "déformation", si tu appliques ta fonction non pas à une droite, mais à un cercle de rayon R, tu trouves un autre cercle de rayon R+a. EN dimension 2, tu passe d'un plan à une sphère.

Est ce bien le cas ?

Oui, en effet. Mais comment faire pour une fonction quelconque et une "déformation" quelconque ?

[inviteaf1870ed]

Voici ce que je propose, en simplifiant le problème.

Supposons que l'on ait une paramétrisation de la surface que l'on appelle S(u,v) :
x=S_x(u,v)
y=S_y(u,v)
z=S_z(u,v)

Autrement dit tout point de la surface est décrit de façon unique par cette paramétrisation. Je suppose également que cette surface n'est pas trop pathologique, les spécialistes mettront les bons termes là dessous.
Alors si ta fonction initiale est z=f(x,y), tu dois prendre pour z la normale à ta surface à l'origine (tu dois définir l'origine of course), x et y te sont donnés par ta paramétrisation S(u,v).

Par exmple si je reprends l'exemple de la sphère, décrite par r = R, et de la fonction z = a, il vient r = R+a.
Pour la gaussienne, tu fixes un point origine et le résultat viendra.

[inviteaf1870ed]

Voici un lien utile, il me semble :
http://wims.unice.fr/wims/
chercher "surface paramétrée"

[invite986312212]

c'est ce genre de chose que tu veux voir? attention, la suggestion de ericcc suppose qu'il y a une paramétrisation naturelle de ta surface, autrement, le résultat doit dépendre de la paramétrisation choisie.

[invite3e5ede0a]

Voici ce que je propose, en simplifiant le problème.

Supposons que l'on ait une paramétrisation de la surface que l'on appelle S(u,v) :
x=S_x(u,v)
y=S_y(u,v)
z=S_z(u,v)

Autrement dit tout point de la surface est décrit de façon unique par cette paramétrisation. Je suppose également que cette surface n'est pas trop pathologique, les spécialistes mettront les bons termes là dessous.
Alors si ta fonction initiale est z=f(x,y), tu dois prendre pour z la normale à ta surface à l'origine (tu dois définir l'origine of course), x et y te sont donnés par ta paramétrisation S(u,v).

Par exmple si je reprends l'exemple de la sphère, décrite par r = R, et de la fonction z = a, il vient r = R+a.
Pour la gaussienne, tu fixes un point origine et le résultat viendra.

Bien sûr, et comme je l'ai dis, ma paramétrisation est la suivante :
x=u
y=v

dans le cas le plus simple.

Si on suppose que l'origine est située au sommet de la paraboloide, alors ma fonction gaussienne serait, comme tu le propose, du type :

Or ce n'est ce que je veux, car cette fonction est en réalité une "projection" d'une gaussienne provenant d'un plan sur la surface parabolide... Moi je voudrais que la decroissance de la gaussienne soit liée complétement à la distance parcourue sur la surface... Mais visiblement, comme ma ce ne sont pas des bijections, ce n'est pas possible...

[inviteaf1870ed]

Moi je voudrais que la decroissance de la gaussienne soit liée complétement à la distance parcourue sur la surface... Mais visiblement, comme ma ce ne sont pas des bijections, ce n'est pas possible...

J'ai bien peur que tu ne doives te contenter d'une approximation !

[invite3e5ede0a]

J'ai bien peur que tu ne doives te contenter d'une approximation !

en effet, il semblerait...