Bonjour
j'ai un endomorphisme f de E=R3[X] qui à tout polynôme P associe: f(P)=(1+X^2)P"-2XP'.
J'arrive à montrer que la matrice de f dans la base (1, X, X^2-1, X+X^3/3) est diagonale avec 2 coefficients nuls et 2 autres qui valent -2.
Je dois montrer :
pour tt n dans N*, il existe h dans L(E) tel que h^n=f.
Pour n=1, h=f, à part ca, je passe aux matrices mais je m'en sors pas.
Merci
Bonjour,
Tout d'abord, tu peux te ramener à une matrice 2*2, d'accord ? Et même en divisant par 2, à une matrice de la forme
-1 0
0 -1
dont le déterminant est 1 et qui vérifie l'identité sympathique A*t(A) = Id
Bien, après, tu n'as plus qu'à utiliser ce que tu dois savoir sur le groupe SO(n,R), et tu devrais obtenir le résultat demandé.
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rvz
On a 2 vecteurs antiinvariants, donc 1 plan d'antiinvariants...
->c'est 1 symetrie par rapport au supplmentaire orthogonal à ce plan??
Je t'ai dit de te ramener à la dimension 2 (4dimensions, c'est beaucoup trop pour nos pauvres cerveaux...). Pour la matrice que j'ai proposée dans mon précédent post, peux tu exhiber une racine n-ième ? Je prétends que oui, et je suis même prêt à prétendre que ça te semblera évident une fois que tu auras trouvée.
Hint : Quel est l'autre nom donné au groupe SO(2,R) ?
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rvz
je sais bien qu'en dim 2, c'est la matrice s'une homothetie de rapport -2... mais comment justifier ce passage de la dim 4 à la dim 2?
Je te demandais juste si tu connaissais des racines n-ièmes de ce machin là en dimension 2.Envoyé par dilzydils
Après, si tu sais le faire en dimension 2, tu devrais t'apercevoir que tu peux trouver un h en dimension 4, par exemple en utilisant la multiplication par blocs.
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rvz
Bonsoir
Dans ce cas ci , comme le precise RVZ , essai de trouver tout d'abord une matrice A , 2*2 , telle que :
pout tt n , A^n = diag [ -1 , -1 ]
Ensuite , cherche une matrice H , composée par exemple de 4 blocs 2*2 , telle que H^n = F , avec F ta matrice avec des 0 et des -2 . C'est la qu'intervient le produit par bloc .
Il n'y a pas de justification pour le passage de la dim 2 a la dim 4 , il s'agit ici juste de prouver l'existence de cette fonction h . Si tu en trouves , tu as gagné !!!
Bon courage
