f o g injective => f injective ?

[invite35896a4a]

Bonjour tout le monde,

Je dois répondre par vrai ou faux à la question suivante : f o g injective => f injective ?
Je n'arrive pas à le démontrer.

Des idées ?

Merci !
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[Médiat]

Bonjour,

si f n'est pas surjective ...

[invite35896a4a]

Je sais juste que g et f vont de R dans R.

[Médiat]

Peu importe, que se passe-t-il si f n'est pas injective, par définition !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35896a4a]

Par définition si f n'est pas injective alors f(x)=f(x') n'implique pas que x=x'.
Je ne vois pas ou tu veux en venir.

[Médiat]

Par définition si f n'est pas injective alors f(x)=f(x') n'implique pas que x=x'.

Et donc, il existe ...

C'est un exercice niveau lycée

[invite35896a4a]

Et donc il existe deux x ayant la même image. Ca ne m'aide toujours pas.

[Médiat]

Faites un effort, c'est trivial !

[invite35896a4a]

En essayant de raisonner par contraposé:

f pas injective=>f(x)=f(x') avec x différent de x'

On pose x= g(a) et x'=g(b)

f(g(a))=f(g(b))

(f o g)a = (f o g)b

Si j'arrivais à conclure que a différent de b ce serait bon non ?

[PlaneteF]

Bonjour,

On pose x= g(a) et x'=g(b)

n'est pas forcément surjective

ce serait bon non ?

Qu'est-ce qui serait bon ? Que l'implication de l'énoncé soit vraie ?


Cordialement

[Médiat]

Faites un effort, c'est trivial !

Malgré tous vos efforts, cela ne marchera pas, car c'est faux, désolé, j'ai confondu avec l'exercice fog injective ==> g injective

Revoyez votre énoncé, il est faux

[PlaneteF]

Salut Médiat,

j'ai confondu avec l'exercice fog injective ==> g injective

C'est ce que je me disais en lisant tes indications

Revoyez votre énoncé, il est faux

L'énoncé ne demande pas de démontrer que c'est vrai mais de statuer, je cite "répondre par vrai ou faux"


Cordialement

[invite35896a4a]

Oui g n'est pas forcément surjective. Mais comme g va de R dans R et f aussi, je peux poser x= g(a) et x'=g(b).
Oui l'énoncé serait vrai par contraposé ( si a=>b alors non b=> non A) dans ce cas si f n'est pas injective => f o g n'est pas injective.
Je n'arrive pas à conclure.

[invite35896a4a]

En effet l'inverse est triviale. Je dois répondre par vrai ou faux mais je n'ai pas trouvé de contre exemple ! J'aimerais justement démontrer que c'est faux, mais je ne trouve pas de démonstration rigoureuse.

[PlaneteF]

Mais comme g va de R dans R et f aussi, je peux poser x= g(a) et x'=g(b).

Ben justement non, poser cela revient à supposer que est surjective, ce qui n'est pas forcément le cas

Cordialement

[invite35896a4a]

Ah oui en effet. Comment puis-je démontrer que mon énoncé est faux dans ce cas ?

[PlaneteF]

Ah oui en effet. Comment puis-je démontrer que mon énoncé est faux dans ce cas ?

Cherche un contre-exemple et justement tu peux chercher une fonction non surjective et injective, une fonction non injective, mais injective quand même

[invite35896a4a]

J'ai dejà cherché et un exemple de ce type n'est pas évident à trouver

[PlaneteF]

J'ai dejà cherché et un exemple de ce type n'est pas évident à trouver

Le contre-exemple que j'ai trouvé de mon côté n'est pas trivial au sens où il saute aux yeux, pour autant il reste simple

[invite35896a4a]

je vais finir par trouver. Merci !

[PlaneteF]

je vais finir par trouver. Merci !

Vas-y, fais tomber , je te donnerai le mien

[Médiat]

Pour me faire pardonner je propose g(x) = e^x et f(x) = x²

[PlaneteF]

Pour me faire pardonner je propose g(x) = e^x et f(x) = x²

Quasiment la même chose de mon côté avec pareil , et

[Médiat]

J'ai hésitez entre les deux

[PlaneteF]

Ben moi j'avais même pensé à en première instance, j'avais déjà remarqué que mon cerveau pense immédiatement à cette fonction pour une fonction surjective, ... puis après je me suis dis que j'allais "descendre d'un degré"

[PlaneteF]

j'avais déjà remarqué que mon cerveau pense immédiatement à cette fonction pour une fonction surjective,

oups ... je voulais dire "non injective", pas "surjective"

[invite35896a4a]

Merci à vous !!