Développement limité

[leroisinge]

Bonsoir Mesdames, Messieurs.

J'ai un peu de mal avec les développements limités (le prof a simplement survolé le sujet).

A quoi sert cet horrible tableau (en PJ) ?
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ?

Merci beaucoup !
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[gg0]

Bonjour.

Il s'agit de développements limités au voisinage de 0 pour les fonctions élémentaires. On s'en sert pour calculer les DL des fonctions qui se calculent avec ...
Par exemple pour avoir le DL à l'ordre 3 de , on procède ainsi :
A l'ordre 3


On multiplie :

et on développe en négligeant les termes de degré supérieur à 3 (ils "rentrent" dans le o(x³))


Bien évidemment, tu refais les calculs (faire n=3 dans la table, multiplier et simplifier) sinon tu ne comprendras pas ce que j'ai fait.

Cordialement.

[stefjm]

Une réponse sur le "A quoi sert un DL?"

Cela permet d'obtenir la meilleure approximation polynomiale d'une fonction en un point particulier.

on remplace la fonction par

à l'odre 0 : une fonction constante a₀, valeur de la fonction au point considéré.
à l'ordre 1 : une fonction affine a₁.x+a₀, tangente à la fonction au point considéré.
à l'ordre 2 : une fonction parabolique a₂.x²+a₁.x+a₀, parabole osculatrice (qui suit la courbe au voisinage).
etc...

PS: le tableau n'est pas horrible et se retrouve avec la relation de Taylor

[leroisinge]

Merci Messieurs pour vos réponses, merci d'avoir pris le temps de me répondre.

Pouvez vous, s'il vous plait m'expliquer la méthode pour faire un développement limité ?
Que signifie l'ordre 0, 1 et 2 dans le message de Monsieur stefjm

Bonne soirée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

L'ordre d'un développement limité, c'est le degré du polynôme

e^x = 1+x+x²/2 +o(x²) est un développement limité à l'ordre 2

[stefjm]

Pouvez vous, s'il vous plait m'expliquer la méthode pour faire un développement limité ?

ça dépend pas mal du contexte.
Le principe est d'utiliser les DL connus des fonctions classiques, ainsi que les règles d'addition, multiplication, division, composition de fonction.
Perso, j'utilise un outil qui le fait tout seul...
Ex de gg0 : https://www.wolframalpha.com/input/?...*exp%28x%29%29

[jacknicklaus]

ç
Perso, j'utilise un outil qui le fait tout seul...

Outil utile pour vérifier. Mais je pense qu'au vu d'une copie annoncant "le développement limité demandé, selon wolframalpha, est xxxxx ", le correcteur donnera une note calculée avec un DL au voisinage de zéro.

[albanxiii]

Outil utile pour vérifier. Mais je pense qu'au vu d'une copie annoncant "le développement limité demandé, selon wolframalpha, est xxxxx ", le correcteur donnera une note calculée avec un DL au voisinage de zéro.

Quand on voit qu'on (est obligé de) donne(r) des points quand l'élève a écrit son nom sans faire de faute, je propose qu'on en reparle dans 10 ans ?

[stefjm]

Outil utile pour vérifier. Mais je pense qu'au vu d'une copie annoncant "le développement limité demandé, selon wolframalpha, est xxxxx ", le correcteur donnera une note calculée avec un DL au voisinage de zéro.

Ça dépend du contexte.
Dans plein de métier, on s'en cogne complètement de comment on trouve le DL. Il faut juste savoir le trouver, puis s'en servir correctement, en étant capable de vérifier qu'on est bien dans les clous applicatifs de l'outil.
Si j'obtiens par WA un DL, je fais confiance à l'outil comme je fais confiance à ma tronçonneuse, lave-vaisselle, etc...

Personne ne me fera croire qu'on fait des mathématiques en première année de médecine (https://forums.futura-sciences.com/c...ml#post6654356). On apprend à répondre à un QCM du genre :
Le DL de e^x.cos(x) est Réponse A, B, C, D, Obi One Kénobi.

[Tryss2]

Oui, enfin au concours il n'aura pas accès à un esclave numérique. Apprendre à calculer vite et bien les DL est donc relativement important.

Plus tard, se reposer sur un logiciel pour les calculs de DL, pourquoi pas. Maintenant, non.