Bonjour,
Je réalise un DM adapté d'un de mes exercices de TD sur la dérivation de Calculus1 (Licence 1), et en voici l'intitulé :
"Prouver que quelque soit x > -1, ln(x+1)<=x. En déduire que ln(x)/x > 1/e"
Le problème ne vient pas de la première partie. Il m'a suffit de réunir les deux termes de l'inégalité, puis de faire l'étude de la fonction qui en résulte pour se rendre compte qu'elle est positive.
En revanche, il vient de la seconde partie, de la déduction de ln(x)/x >1/e.
Je précise tout d'abord que pour avoir vérifié graphiquement, cette affirmation est vraie.
Jusque là, ce que j'ai essayé de faire est de d'abord poser ln(x+1) <= x. Puisque ln est une fonction croissante, ln(x) < ln(x+1) < x, donc ln(x) < x.
Et de là, j'essaie de manipuler l'expression, en rajoutant e en facteur de x (l'application à l'autre terme étant difficilement justifiable en conservant cette équation).
Cependant, mon raisonnement classique consiste en ln(x) < x donc ln(x) < ex, donc 1 < ex/ln(x), donc 1/e < x/ln(x), donc e > ln(x)/x.
Auriez-vous des suggestions, pour m'aider à trouver la bonne démarche ?
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Envoyé par Agent Rhinopharyngite 
