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déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d



  1. #1
    Rachilou

    déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d


    ------

    Bonjour,


    Est-il possible en partant de la formule suivante : W = f.d
    d'arriver directement à celle-ci : E(c) = m.1/2 v²
    seulement par déduction mathématique si on tient compte que W = E(c)

    D'ailleurs, qui est donner le premier à cette formulation E(c) = m.1/2 v²
    et comment ?
    ou bien alors, en partant de quoi ?

    Newton ? Leibniz ? ou autre ?


    Merci par avance de toutes vos réponses.

    -----
    La science n'est pas une collection de lois, mais une création libre de l'esprit humain

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  3. #2
    Nicophil

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    Bonsoir,

    Oui ça se démontre. C'est Leibniz qui a trouvé que c'était la "force vive" m.v² qui était fondamentale.
    Mais il a fallu attendre Coriolis je crois pour le facteur 1/2 ...
    La réalité, c'est ce qui reste quand on cesse de croire à la matrice logicielle.

  4. #3
    FlyingDeutschmann

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    Bonjour,

    De manière générale, l'énergie cinétique n'est pas "égale au travail" : le "d" de votre formule est la distance parcourue entre deux instant (1 et 2) par un objet soumis à une force constante f. Si l'objet avait, à l'instant 1, déjà une vitesse non-nulle dans le référentiel d'observation, son énergie cinétique ne sera pas égale à W, mais elle aura varié de W.

    À moins que je me trompe, on ne peut pas faire pour seules hypothèses que W est la variation d'énergie cinétique et que W=f.d pour obtenir E(c)=1/2*m*v^2 : il faut un lien entre la force et la vitesse. Et ce lien, c'est la deuxième loi de Newton.

    En réalité, seule cette loi est nécessaire pour arriver aux concepts d'énergie cinétique et de travail : si on considère un mouvement sous l'effet d'une force F, on observe qu'on peut arriver à l'équation



    (on part de mdv/dt=F, on multiple les deux cotés par v et on reconnait v*dv/dt=1/2*d(v^2)/dt )

    qui se ramène à "la variation de E(c) est égale à W" pour une force constante.

    D'un point de vue historique, je n'ai pas lu les textes historiques, mais je serais fort surpris que Newton n'ait pas déjà trouvé ceci dans ses Principia, vu tout ce qu'il avait développé.
    Dernière modification par FlyingDeutschmann ; 28/12/2012 à 21h43.

  5. #4
    FlyingDeutschmann

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    Ah bah non je m'étais trompé pour l'aspect historique. Merci.

  6. #5
    FlyingDeutschmann

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    En réalité, un document sur Bibnum indique qu'en effet le concept de "force vive" est dû à Leibniz, qui a fait observer que la quantité mv^2 était conservée dans beaucoup de systèmes. En revanche, l'utilisation théorique rigoureuse du concept d'énergie (l'idée que quelque chose, appelée l'énergie totale, est conservée, la détermination de l'expression de l'énergie d'un système et l'utilisation de ces idées pour la résolution de problèmes) date du XIXème siècle seulement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Rachilou

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    De manière générale, l'énergie cinétique n'est pas "égale au travail" : le "d" de votre formule est la distance parcourue entre deux instant (1 et 2) par un objet soumis à une force constante f. Si l'objet avait, à l'instant 1, déjà une vitesse non-nulle dans le référentiel d'observation, son énergie cinétique ne sera pas égale à W, mais elle aura varié de W.

    À moins que je me trompe, on ne peut pas faire pour seules hypothèses que W est la variation d'énergie cinétique et que W=f.d pour obtenir E(c)=1/2*m*v^2 : il faut un lien entre la force et la vitesse. Et ce lien, c'est la deuxième loi de Newton.



    Bonjour et merci pour votre réponse;

    A mon avis ( mais c'est que mon avis) , l'énergie cinétique ( ou plutôt la variation de l'énergie cinétique) d'une masse (m) ) est toujours égale au travail de la force qui s'applique sur une distance donnée durant l'accélération seulement.
    Je peux accélérer une masse sur 100 m en une seule fois. Cela revient au même que si j'accélère la même masse sur deux phases distincts mais toujours sur un total de 100m.
    ex :
    1er phase : accélération d'une masse de 0 à 50m
    ensuite laisser 1000 m à la même vitesse et
    2e phase : accélération la même masse du 1050ème mètre au 1100ème mètre.
    L'accélération aura toujours eu lieu sur 100m seulement.
    Et le travail n'a lieu qu'à ce moment là.
    Peu importe que la masse soit au repos ou en mouvement. Ce qui compte c'est la distance parcouru durant l'accélération.


    Selon Wikipédia :
    Le travail d'une force est l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace (l'objet subissant la force se déplace ou se déforme).
    Il est responsable de la variation de l'énergie cinétique du système qui subit cette force.
    Si par exemple on pousse une voiture, le travail de la poussée est l'énergie produite par cette poussée.
    Cette notion avec ce nom fut introduite par Gaspard-Gustave Coriolis1.
    Le travail est exprimé en joules (J), et est souvent noté W, initiale du mot anglais Work qui signifie travail.



    Je suis d 'accord avec vous pour le "lien" entre la force et la vitesse et c'est bien la deuxième loi de Newton.
    Mais la formule du travail (W) = f.d ne la contient-elle pas ?


    Je suis nul en mathématique.... cependant j'ai essayé hier soir de trouver un développement possible...
    Le voici :

    On part du principe que W = E(c) si l'on suppose que E(c) est un travail (W) absorbé durant l'accélération d'une masse (m)
    Reste à démontrer que E(c) à partir de (W) seulement.

    W = f.d
    on sait que f = a.m alors W = a.m.d

    aussi : si on admet que W = E(c) alors E(c) = a.m.d

    Essayons maintenant de calculer E(c) = a.m.d pour arriver à E(c) = 1/2 m.V²

    E(c) = a.m.d
    E(c) = (d/t/t) m . d
    E(c) = (d/t²) m (t.v/2)*
    E(c) = (t.v/t²) m (t.v/2)
    E(c) = (t²/t².v) m (v/2)
    E(c) = m.v²/2
    E(c) = 1/2 m.V²


    *(t.v/2) représente la distance (d) parcouru par (m) durant son accélération (a)
    ex : une masse qui subit une accélération d'1m/s² aura parcourue 0.5m lors de la première seconde.


    W pour travail (J)
    f pour force ( N )
    d pour distance (m)
    a pour accélération (m/s²)
    E(c) pour énergie cinétique (J)
    t pour temps
    v pour vitesse


    Tout ceci, est un développement personnel et je n'en garantie pas l'exactitude sans la reconnaissance des autres foristes plus calés que moi en la matière.

    J'attends vos critiques... Merci
    La science n'est pas une collection de lois, mais une création libre de l'esprit humain

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  10. #7
    b@z66

    Re : déduire directement : E(c) = m.1/2 v² à partir de W = f.d

    Citation Envoyé par Rachilou Voir le message
    Je suis nul en mathématique.... cependant j'ai essayé hier soir de trouver un développement possible...
    Le voici :

    On part du principe que W = E(c) si l'on suppose que E(c) est un travail (W) absorbé durant l'accélération d'une masse (m)
    Reste à démontrer que E(c) à partir de (W) seulement.

    W = f.d
    on sait que f = a.m alors W = a.m.d

    aussi : si on admet que W = E(c) alors E(c) = a.m.d

    Essayons maintenant de calculer E(c) = a.m.d pour arriver à E(c) = 1/2 m.V²

    E(c) = a.m.d
    E(c) = (d/t/t) m . d
    E(c) = (d/t²) m (t.v/2)*
    E(c) = (t.v/t²) m (t.v/2)
    E(c) = (t²/t².v) m (v/2)
    E(c) = m.v²/2
    E(c) = 1/2 m.V²
    Votre calcul comporte une erreur(que vous avez auto-arrangé).
    Rappel sur ce qu'on a:

    accélération constante a
    vitesse finale v=a.t, t temps d'accélération
    distance finale parcourue d=1/2.a.t²=v.t/2

    cela donne pour l'énergie cinétique:

    Ec=F.d=m.a.d
    =2.(d/t²).m.d
    =2.(d/t²).m.(v.t/2)
    =2.(v.t/2t²).m.(v.t/2)
    =m.v²/2

    Votre démarche reste malgré tout correcte même si elle n'est pas générale(elle suppose une accélération constante). Pour la généralisation, il faut en passer par le calcul intégral, en supposant que l'énergie cinétique totale acquise est la somme de tous les travaux infinitésimaux effectués durant chacun des intervalles de temps infinitésimaux qui composent le temps total de l'accélération. Ceci est un exemple mathématique classique pour retrouver la formule de l'énergie cinétique avec à la clé un petit changement de variable pour effectuer l'intégrale.
    Dernière modification par b@z66 ; 29/12/2012 à 12h08.
    La curiosité est un très beau défaut.

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