Équivalents et négligeabilité

[Julees]

Bonsoir !

Je me demandais comment peut on dire aussi facilement que si f1(x) ~ g1(x) et f2(x) ~ g2(x) et g2(x) = o(g1(x)) , alors f2(x) = o(f1(x)) ?

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

On le dit parce qu'on a suffisamment utilisé les définitions de ~ et o pour que ça semble quasi évident.
Tes hypothèses sont, au voisinage de a (réel ou -oo ou +oo) :
f1(x) = g1(x)*u1(x) avec u1(x) qui tend vers 1 quand x tend vers a,
f2(x) = g2(x)*u2(x) avec u2(x) qui tend vers 1 quand x tend vers a,
g2(x) = g1(x)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0 quand x tend vers a.
Intuitivement, f1 est du même ordre de grandeur que g1, f2 du même ordre de grandeur que g2, et g2 très petit par rapport à g1, donc f2 est aussi très petit par rapport à g1 et à f1.

Pour une preuve rapide, on utilise la commutativité de ~ :
g1(x) = f1(x)*v1(x) avec v1(x) qui tend vers 1 quand x tend vers a
f2(x)= g2(x)*u2(x)= g1(x)*e(x)*u2(x)=f1(x)*v1(x)*e (x)*u2(x) et on voit que v1(x)*e(x)*u2(x) tend vers 0 quand x tend vers a. C'est simplement une reprise en calculs de l'intuition dont je parlais.

Reviens toujours aux définitions quand tu travailles avec équivalents et négligeables.

Cordialement.

[Julees]

Très bien merci beaucoup ! C'est tout ce que je voulais savoir