Dérivation suivant un tenseur ?

azizovsky · 30/12/2020, 18h30

Bonjour, on sait qu'il y'a la dérivation suivant une ligne et aussi suivant un vecteur et suivant un tenseur ?

Dans ce lien , on trouve la notation :

$\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \vec{v}}(a)=...\;\;$ , page (16) pour la dérivée directionnelle .

comment peut on simplifier l'expression ou la notation : $\;\frac{\partial .}{\partial \underline{\underline{v}}\;$ où $\;{\partial \underline{\underline{v}}\;$ est un tenseur d'ordre 2 .

Merci d'avance .

**Anonyme007** · 03/01/2021, 04h13

Bonjour,

Sauf erreur de ma part,
On dérive une application $f \ : \ E \to \mathbb{R}$ , en un point $a \in E$ , suivant une direction $\vec{v}$ ( un vecteur ), lorsque $E$ est un espace vectoriel.
On dérive une application $f \ : \ E \otimes F \to \mathbb{R}$ , en un point $a \in E \otimes F$ , suivant une direction $\underline{\underline{v}}$ ( un tenseur d'ordre $2$ ), lorsque $E \otimes F$ est un espace tensoriel, appelé ici ( dans un tel cas particulier ) : produit tensoriel des espaces vectoriels $E$ et $F$ , car tout élément de $E \otimes F$ s'identifie à un tenseur d'ordre $2$ .

Exemple,
Soit $f \ : \ \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} ) \to \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )$ une application matricielle définie par, $f(\underline{\underline{A}},\underline{\underline{B}}) = \underline{\underline{A}}^2 + \underline{\underline{B}}$ .
Alors,
- $Df(M,N) = \dfrac{ \partial f }{ \partial \underline{\underline{A}} } d \underline{\underline{A}} + \dfrac{ \partial f }{ \partial \underline{\underline{B}} } d \underline{\underline{B}}$
- $Df(M,N).(\underline{\underline{A}},\underline{\underline{B}}) = M \underline{\underline{A}} + \underline{\underline{A}} M + N$
Donc, $\dfrac{ \partial f }{ \partial \underline{\underline{A}} }$ s'identifie à l'application $\dfrac{ \partial f }{ \partial \underline{\underline{A}} } \ : \ \underline{\underline{A}} \to M \underline{\underline{A}} + \underline{\underline{A}} M$ .
$\mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )$ s'identifie bien sûr, à $\mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^n$ et $\underline{\underline{A}} \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} )$

Cordialement.

azizovsky · 03/01/2021, 10h29

Merci beaucoup, ce que je cherchais, c'est la signification de cette écriture : $\dfrac{ \partial f }{ \partial \underline{\underline{A}} }$
Je crois que j'ai trouvé: il s’agit simplement de la matrice qui contient les dérivées partielles du scalaire par rapport à toutes les composantes du tenseur et si j'ai le temps je vais l'appliquer ici question (4,43) page 73.

Dérivation suivant un tenseur ?

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